辗转相除法的证明

描述：关于辗转相除法的具体实现在这里就不具体说明了，本文要记录的是辗转相除法应用于求最大公约数的算法证明过程。
假设：

求m和n的最大公约数。
a,b分别是m除以n的商和余数，即m=na+b。
gcd(m,n)表示m和n的最大公约数。

求证：gcd(m,n)=gcd(n,b)

证明：

设c=gcd(m,n), d=gcd(n,b)

1.　∵c为m和n的公约数

∴m能被c整除，n也能被c整除

∴na也能被c整除 参照推论一

∴m-na也能被c整除(即b能c整除) 参照推论二

∴c为n和b的公约数

∵d为n和b的最大公约数

∴c≤d

2.　同理可证 d≤c

∵d为n和b的公约数

∴n能被d整除，b也能被d整除

∴na也能被d整除 参照推论一

∴na+b也能被d整除(即m能d整除) 参照推论二

∴d为m和n的公约数

∵c为m和n的最大公约数

∴d≤c

综上所述：c=d，即gcd(m,n)=gcd(n,r)

推论一：若a能被b整除(a=tb)，则如果k为正整数，则ka也能被b整除(ka=ktb)。
推论二：若a能被c整除，b也能被c整除，则(a±b)也能被c整除。