【期望+数学推导】hdu6747 Rotate

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6747

Problem Description

我们有一个圈，从内到外一共被分成了 n 个环，中间是空的。

我们把从外到内第 i 层环平分成 a[i] 份，其中 a[i] 是偶数，我们把这 a[i] 份黑白染色，第奇数个染成黑色，第偶数个染成白色。

现在我们旋转每一层，每一层都会等概率随机到一个中止位置。

问黑色的联通块数目的期望。两块黑色的区域有交点即算联通。层之间的旋转是相互独立的。

 

 

Input

第一行一个正整数 test(1≤test≤10) 表示数据组数。

对于每组数据，第一行一个正整数 n(1≤n≤10)。

接下来一行 n 个正整数 a[i](2≤a[i]≤1000)，a[i] 为偶数，另外保证 a 序列不降。

 

 

Output

对于每组数据，一行一个数表示答案，由于答案 A/B 中的 AB 可能很大，请输出 A/Bmod109+7，假设 A/B 为最简分数，A/Bmod109+7=A∗B−1mod109+7，B−1 为满足 B−1∗Bmod109+7=1 的整数。

 

 

【分析】

观察得到的性质：黑色的联通块构成了一个森林。

证明：因为序列a单调不降，所以从外而内每一圈被分成的被平分的份数越来越多，即越向内分的越细，外圈的一个黑块可以向内连接多个黑块，内圈的方块向外最多连接一个黑块，是一个树形结构，外圈为父亲节点，内圈为子节点。

对于森林，联通块的个数 = 点数 - 边数，取期望，E(联通块的个数) = E(点数) −E(边数)

考虑第i圈，第i圈共有a[i] / 2个黑点，对E(点数)的贡献为ai / 2，

计算它向第i + 1圈（向内一圈）连边的边数期望E(i)，则E(总边数） = E[1] + E[2] + ... + E[n - 1]

第i + 1圈共有（a[i + 1] / 2）个黑点，设随机变量X[i]，若第i + 1圈第i个黑点与第i圈的某个黑点联通（即有1条连边），则X[i] = 1，若无则X[i] = 0，

因此E[i] = E( X[1] + X[2] + ... + X[ a[i + 1] / 2 ] )，

根据期望的线性性：

E[i] = E( X[1] )  + E( X[2] ) + ... + E( X[ a[i + 1] / 2 ] ) )

由于旋转对称性

E( X[1] )  = E( X[2] ) = ... = E( X[ a[i + 1] / 2 ] ) )

故E[i] = E( X[1] )  * a[i + 1] / 2 

只需计算内圈的一个黑块与外圈连边的期望

内圈的一个黑块（图中红块）的一边在蓝色夹角内活动，蓝色的夹角为2 * Pi / （1 / a[i] * 2)，有连边的临界情况即为图中的两个红色部分，所占的角度范围为2*PI * （1 / a[i] + 1 / a[i + 1]），因此有连边的概率为 P（X1）=（2*PI * （1 / a[i] + 1 / a[i + 1]）/ （2 * Pi / （1 / a[i] * 2)），则期望E（X1）= P（X1） * 1（代表一条边），所以E[i] = E( X[1] )  * a[i + 1] / 2 = （ a[i] +  a[i + 1]  ）/ 4

 

最后答案即为 （a[1] + a[n]) / 4

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