数学建模期末复习,撰写博客做总结之用,主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现,其中不足之处望读者多多指正。
1、表示位置的统计量
2、 表示变异程度的统计量:
3、表示分布形状的统计量
4、矩
1、整理资料:把样本值x1,x2,…,xn进行分组,先将它们依大小次序排列,得 x 1 ∗ ≤ x 2 ∗ ≤ ⋯ ≤ x n ∗ x_1^* \le x_2^* \le \cdots \le x_n^* x1∗≤x2∗≤⋯≤xn∗,随机落入等分点;
2、求出出现在区间的频率: ( x i , x i + 1 ] (x_i,x_{i + 1}] (xi,xi+1]为 n i n_i ni则频率 f i = n i n f_i=\frac{n_i}{n} fi=nni
3、做相应的频率直方图。
1、正态分布: N ( μ , σ 2 ) N\left(\mu, \sigma^{2}\right) N(μ,σ2)
密度函数: p ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 : p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}: p(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2:
分布函数: F ( x ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ x e − ( y − μ ) 2 2 σ 2 d y F(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{(y-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} d y F(x)=2πσ1∫−∞xe−2σ2(y−μ)2dy
μ , 为 期 望 σ 2 为 均 值 , − ∞ < x < + ∞ \mu,为期望\sigma^{2}为均值, \quad-\infty
2、 χ 2 {\chi ^2} χ2分布
若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,都服从标准正态分布N(0,1),则随机变量:
Y = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 Y=X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 Y=X12+X22+⋯+Xn2服从自由度为n的 χ 2 {\chi ^2} χ2分布,记做Y~ χ 2 {\chi ^2} χ2(n)
3、t分布
若XN(1,0)与Y χ 2 {\chi ^2} χ2(n)相互独立,则随机变量: T = X Y n T = \frac{X}{{\sqrt {\frac{Y}{n}} }} T=nYX服从自由度为n的t分布记做T~t(n)
4、F分布
如果X~ χ 2 {\chi ^2} χ2( n 1 n_1 n1),Y~ χ 2 {\chi ^2} χ2( n 2 n_2 n2),且两者相互独立,则 F = X n 1 Y n 2 F = \frac{{\frac{X}{{{n_1}}}}}{{\frac{Y}{{{n_2}}}}} F=n2Yn1X服从自由度为( n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2)的F分布,记作F~F( n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2)
接下的概念对菜鸡笔者有些复杂,偷懒不做展开,有兴趣的读者自行补充
2、区间估计的求法
假设检验的一般解题步骤为:
有两种,导入向量将向量合成矩阵,或者直接导入矩阵数据:
t=78:87;
x=[23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,...
43.2,52.8,63.8,73.4];
y=[41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,...
95.9,137.4,155.0,175.0];
save data t x y;
load data;
%矩阵输入
clear
data1=[78,79,80,81,82,83,84,85,86,87;...
23.8,27.6,31.6,32.4,33.7,34.9,43.2,52.8,63.8,73.4;...
41.4,51.8,61.7,67.9,68.7,77.5,95.9,137.4,155.0,175.0]
t=data1(1,:)
x=data1(2,:)
y=data1(3,:)
%输出基本的统计量
%均值
mean(x)
%中位数
median(x)
%标椎差
std(x)
%方差
var(x)
%偏度
skewness(x)
%峰度
kurtosis(x
%常见的概率分布函数
%正态分布:norm
%指数分布:exp
%均匀分布:unif
%泊松分布:poiss
%两项分布: bino
%几何分布:geo
%超几何分布:hyge
%离散均匀分布:unid
%β 分布:beta
%γ分布:gam
%韦布尔分布:weib
%卡方分布:chi2
%t分布:t
%F分布:F
%分部的相关概率函数
%概率密度:pdf 概率分布:cdf
%逆概率分布:inv 均值与方差:stat
%随机数生成:rnd
%关于正态分布的概率密度函数可以表示为
p=normpdf(x,mu,sigma)
%检验
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(X,alpha)
%参数估计
%假设检验,已知方差Z检验均值
[h,sig,ci] = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)
%假设检验,未知方差t检验均值
[h,sig,ci] = ttest(x,m,sigma,alpha,tail)
%两总体问题假设检验使用t检验
[h,sig,ci] = ttest2(x,y,alpha,tail)
%非参数检验
%绘制频率直方图
hist(x,10)
%检验正态分布
h = normplot(x)
%检验Weibull分布
h = weibplot(x)
%参数估计(点估计与区间估计)
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)
tail的缺省值为 0, alpha的缺省值为 0.05
某校60名学生的一次考试成绩如下:
93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55
1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度,画出直方图;
2)检验分布的正态性;
3)若检验符合正态分布,估计正态分布的参数并检验参数.
%作业题1
x=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 ...
88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 ...
75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 ...
76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55
];
%计算基本的统计量
%均值
mean(x)
%中位数
median(x)
%标椎差
std(x)
%方差
var(x)
%偏度
skewness(x)
%峰度
kurtosis(x)
%绘制基本的直方图
hist(x,10)
%检验正态性
normplot(x)
%参数估计
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x)
muhat =80.1000
sigmahat =9.7106
muci =[77.5915,82.6085]
sigmaci =[8.2310,11.8436]
即:方差为9.7106,期望为80.1000 估计置信区间同上
据说某地汽油的价格是每加仑115美分,为了验证这种说法,一位学者开车随机选择了一些加油站,得到某年1月和2月的数据如下:
1月:119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118
2月:118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125
1)分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性;
2)分别给出1月和2月汽油价格的置信区间;
3)给出1月和2月汽油价格差的置信区间.
*解题代码
%作业题2
x=[119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 ...
109 112 119 112 117 113 114 109 109 118
];
y=[118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 ...
120 123 121 119 117 119 128 126 118 125];
[h,sig,ci] = ttest(x,115)
[h,sig,ci] = ttest(y ,115)
[h,sig,ci] = ttest2(x,y)
h = 0
sig =0.8642
ci =113.3388 116.9612
h =1
sig =1.3241e-06
ci =119.0129 122.4871
h =1
sig =3.6952e-05
ci =-8.0273 -3.1727
说法在1月可靠2月不可靠,1月的价格区间为[113.3388 116.9612];二月价格区间为[119.0129 122.4871];价格差为(1-2)-8.0273 -3.1727