【集合论】偏序关系 相关题目解析 ( 偏序关系 中的特殊元素 | 绘制哈斯图 | 链 | 反链 )

偏序关系中的特殊元素问题

题目 : 偏序关系 特殊元素 ;

• 条件 : 下图是 某一 偏序集 $<A,⪯>$ 的哈斯图 , 其中 $A=\{a,b,\cdots ,k\}$
• 问题 $1$ : $B_1=\{a,c,d,e\}$ 是什么链 ;
• 问题 $2$ : $B_2=\{a,e,h\}$ 是什么链 ;
• 问题 $3$ : $B_3=\{b,g\}$ 是什么链 ;
• 问题 $4$ : $B_4=\{g,h,k\}$ 是什么链 ;
• 问题 $5$ : $B_5=\{a\}$ 是什么链 ;
• 问题 $6$ : $B_6=\{a,b,g,h\}$ 是什么链 ;
• 问题 $7$ : $B_1$ 的上界, 下界, 上确界 , 下确界 ;
• 问题 $8$ : $B_4$ 的上界, 下界, 上确界 , 下确界 ;

解答 :

① 问题 $1$ : $B_1=\{a,c,d,e\}$ 是一条 长为 4 的 链 ;
这四个元素互相之间是可比的 ; 并且也是覆盖的 , $e$ 覆盖 $d$ , $d$ 覆盖 $c$ , $c$ 覆盖 $a$ ;

② 问题 $2$ : $B_2=\{a,e,h\}$ 是一条 长为 3 的链 ;
$a,e,h$ 之间都是可比的 , 但没有覆盖关系 , 即他们之间都有其它元素相隔 , 这也是链 ;
集合中有 $n$ 个元素 , 且这些元素可比 , 那么这个集合就是一个长为 $n$ 的链 , 中间可以隔着其它元素 ;

③ 问题 $3$ : $B_3=\{b,g\}$ 是一条 长为 2 的链 ;
$b,g$ 之间隔着 4 个元素 , 但这个集合中元素是可比的 , 也是链, 长度为集合的元素个数 ;

④ 问题 $4$ : $B_4=\{g,h,k\}$ 是一条 长为 3 的 反链 ;
集合中的元素 , 都不可比 , 那这个集合就是反链 ;
如果一部分可比 , 另一部分不可比 , 那这个集合什么都不是 , 既不是链 , 也不是反链 ;

⑤ 问题 $5$ : $B_5=\{a\}$ 是一条 长为 1 的 链 , 同时也是一条长为 1 的反链 ;
如果集合中只有一个元素 , 那么该集合 既是 链 , 又是 反链 , 长度为 $1$ ;

⑥ 问题 $6$ : $B_6=\{a,b,g,h\}$ 既不是链 , 也不是反链 ;
$g,a$ 是可比的, $h,a$ 是可比的 , $g,b$ 是可比的 , $h,b$ 是可比的 , $g,h$ 不可比 , $a,b$ 不可比 , 因此其 既不是链 , 也不是反链 ;

⑦ 问题 $7$ :

上界问题 :

• 1> 上界集合 : $B_1=\{a,c,d,e\}$ 上界集合为 $\{e,f,g,h\}$ ;
• 2> 上确界 ( 最小上界 ) : $B_1$ 的上确界 是 $e$ , 即 上界集合的 最小元 ;

注意 :
上界 是一个元素 , 一个集合的上界 可能有很多个, 上界集合 是 上界元素 的集合 ;
上界集合中的最小元 是 上确界 或 最小上界 ;
集合不一定有上界 ( 有可能上面有两个极大元, 互不可比 ) , 有上界 不一定有 上确界 ;

下界问题 :

• 1> 下界集合 : $B_1=\{a,c,d,e\}$ 下界集合为 $\{a\}$ ;
• 2> 下确界 ( 最大下界 ) : $B_1$ 的下确界 是 $a$ , 即 下界集合的 最大元 ;

注意 :
下界 是一个元素 , 一个集合的下界 可能有很多个, 下界集合 是 下界元素 的集合 ;
下界集合中的最大元 是 下确界 或 最大下界 ;
集合不一定有下界 ( 有可能下面有两个极小元, 互不可比 ) , 有下界 不一定有 下确界 ( 最大下界 ) ;

求 一个 集合 的 下界和上界 , 注意从集合的 最小元 ( 下界 ) 和 最大元 ( 上界 ) 开始算 , 不要忽略这两个元素 ;

⑧ 问题 $8$ : $B_4=\{g,h,k\}$ 是反链 , 其没有 上界 和 下界 , 自然 也 不存在 上确界 和 下确界 ;
反链 是 没有 上界 和 下界的 , 元素之间都不可比 ;

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偏序关系证明 哈斯图 链 反链

题目 :

• 条件 : 集合 $A$ 是 $120$ 的所有因子组成的集合 , " $|$ " 是 $A$ 上的整除关系 ;
• 问题 1 : 证明该 关系 是 偏序关系 ;
• 问题 2 : 画出关系的哈斯图
• 问题 3 : 确定 $A$ 中的最长链 ; 写出所有最长链 ;
• 问题4 : $A$ 中的元素至少可以划分成多少个互不相交的反链 , 并写出这些反链 ;

解答 :

问题 1 : 偏序关系证明 :

① 写出 $120$ 的因子集合 : 先列出其素因子 , 然后使用素因子组合即可 ;
( 注意 $x$ 整除 $y$ , $x$ 是较小的数 , 是除数 , $y$ 是较大的数 , 是被除数 , $除数|被除数$ 是整除关系的表示 )
$A=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}$

② 证明偏序关系 需要证明其 三个性质 自反 反对称 传递 ;

• 1.证明自反性 : $\forall x\in A$ , $x$ 本身 肯定能整除 它自己 , $x$ 与 $x$ 是可比的 , 因此 $x$ 是自反的 ;
• 2.证明反对称性 : $x$ 能整除 $y$ , 并且 $x$ 不等于 $y$ , $y$ 肯定不能整除 $x$ , 举例 $1$ 能整除 $2$ , $2$ 不能整除 $1$ ;
• 3.证明传递性 : $x$ 能整除 $y$ , $y$ 能整除 $z$ , 那么 $x$ 能整除 $z$ 成立 , 举例 $1$ 能整除 $2$ , $2$ 能整除 $4$ , 那么 $1$ 能整除 $4$ ;

问题 2 : 画哈斯图 : 先画出 $1$ , 从底下向上画, 画完后 逐个检查 是否有遗漏 ;

问题 3 : 确定最长链 并 找出最长链 :

① 逐个寻找 , 最长链为 6 , 从底部到上面 从左到右 逐个分支进行遍历 写出 长度为 6 的链 ;
从底部 $1$ 开始写 , 最左侧的链 为 :
$\{1,2,4,8,24,120\}$

这个最左侧链从顶部向下走 , 从 $8$ 开始有个分支 , 写下这个链
$\{1,2,4,8,40,120\}$

继续往下走 , $4$ 的位置有个分支 , 其下对应着 $3$ 个分支 分别是 :
$\{1,2,4,12,24,120\}$
$\{1,2,4,12,60,120\}$
$\{1,2,4,20,60,120\}$

继续往下走 , $2$ 的位置有分支 , 对应

给出参考答案 , 不在详细列出 :

1→2→4→8→24→120

1→2→4→8→40→120

1→2→4→12→24→120

1→2→4→12→60→120

1→2→6→12→60→120

1→2→6→30→60→120

1→3→6→12→24→120

1→3→6→12→60→120

1→3→6→30→60→120

1→3→15→30→60→120

1→5→10→20→40→120

1→5→10→30→60→120

1→5→15→30→60→120

问题 4 : 集合 $A$ 至少划分成 多少 互不相交的反链 , 完整写出这些反链 :

分析 : 将集合 $A$ 划分成最多的反链个数 是 $16$ 个 , 即每个元素都划分成一个单独的反链 ;
$\{\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{8\},\{10\},\{12\},\{15\},\{20\},\{24\},\{30\},\{40\},\{60\},\{120\}\}$

现在需要将其尽可能多的将上述集合进行合并 , 每个集合必须是反链 :
$$\{\{1\},\{120\},\{2,3,5\},\{4,6,15,10\},\{8,12,30,20\},,\{24,60,40\}\}$$

结果 : 至少能划分成 6 个互不相交的反链 ;

技巧 : 哈斯图 横向 没有关联的一条线 可以组成一条反链 ;

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