非线性规划（二）: Matlab 求解约束极值问题

非线性规划（一）：定义与数值优化方法(梯度法、牛顿法、拟牛顿法、变尺度法)

非线性规划（二）: Matlab 求解约束极值问题

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目录

约束极值问题 

1  二次规划         2  罚函数法 

3  Matlab 求约束极值问题 

3.1  fminbnd 函数           3.2  fseminf 函数                 3.3  fminimax 函数 

4 Matlab 优化工具箱的用户图形界面解法 

4  非线性规划的应用：飞行管理问题

4.1  模型一            4.2  模型二                习 题 

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约束极值问题 

带有约束条件的极值问题称为约束极值问题，也叫规划问题。 求解约束极值问题要比求解无约束极值问题困难得多。为了简化其优化工作，可采用以下方法：将约束问题化为无约束问题；将非线性规划问题化为线性规划问题，以及 能将复杂问题变换为较简单问题的其它方法。 库恩—塔克条件是非线性规划领域中重要的理论成果之一，是确定某点为优点 的必要条件，但一般说它并不是充分条件（对于凸规划，它既是优点存在的必要条件， 同时也是充分条件）。 

无约束问题的求解请参考这里：非线性规划（一）：定义与数值优化方法

1  二次规划 

若某非线性规划的目标函数为自变量 x的二次函数，约束条件又全是线性的，就称 这种规划为二次规划。

Matlab 中求解二次规划的命令是 

[X,FVAL]= QUADPROG(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS) 

返回值 X 是决策向量 x的值，返回值 FVAL 是目标函数在 x处的值。（具体细节可以参 看在 Matlab 指令中运行 help quadprog 后的帮助）。 

h=[4,-4;-4,8]; 
f=[-6;-3]; 
a=[1,1;4,1]; 
b=[3;9]; 
[x,value]=quadprog(h,f,a,b,[],[],zeros(2,1)) 

2  罚函数法 

利用罚函数法，可将非线性规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题， 因而也称这种方法为序列无约束小化技术，简记为 SUMT (Sequential Unconstrained Minization Technique)。 罚函数法求解非线性规划问题的思想是，利用问题中的约束函数作出适当的罚函 数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化为无约束非线性规划问题。主要有 两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法，下面介绍外罚函数法。

解  (i)编写 M 文件 test.m  

function g=test(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*min(x(1),0)-M*min(x(2),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+... 
  M*abs(-x(1)-x(2)^2+2); 

或者是利用Matlab的求矩阵的极小值和极大值函数编写test.m如下： 

function g=test(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*sum(min([x';zeros(1,2)]))-M*min(x(1)^2-x(2),0)+...   
  M*abs(-x(1)-x(2)^2+2); 

我们也可以修改罚函数的定义，编写test.m如下： 

function g=test(x); 
M=50000; 
f=x(1)^2+x(2)^2+8; 
g=f-M*min(min(x),0)-M*min(x(1)^2-x(2),0)+M*(-x(1)-x(2)^2+2)^2; 

 (ii)在 Matlab 命令窗口输入 

[x,y]=fminunc('test',rand(2,1)) 

即可求得问题的解。 

3  Matlab 求约束极值问题 

在 Matlab 优化工具箱中，用于求解约束优化问题的函数有：fminbnd、fmincon、 quadprog、fseminf、fminimax，上面我们已经介绍了函数 fmincon 和 quadprog。 

3.1  fminbnd 函数 

求单变量非线性函数在区间上的极小值            

Matlab 的命令为

[X,FVAL] = FMINBND(FUN,x1,x2,OPTIONS)

它的返回值是极小点x 和函数的极小值。这里 fun 是用 M 文件定义的函数或 Matlab 中 的单变量数学函数。 

3.2  fseminf 函数 

上述问题的 Matlab 命令格式为

X=FSEMINF(FUN,X0,NTHETA,SEMINFCON,A,B,Aeq,Beq) 

解  （1）编写 M 文件 fun6.m 定义目标函数如下： 

function f=fun6(x,s); 
f=sum((x-0.5).^2); 

（2）编写 M 文件 fun7.m 定义约束条件如下： 

function [c,ceq,k1,k2,s]=fun7(x,s); 
c=[];ceq=[]; 
if isnan(s(1,1))     
    s=[0.2,0;0.2 0]; 
end 
%取样值 
w1=1:s(1,1):100; 
w2=1:s(2,1):100; 
%半无穷约束 
k1=sin(w1*x(1)).*cos(w1*x(2))-1/1000*(w1-50).^2-sin(w1*x(3))-x(3)-1; k2=sin(w2*x(2)).*cos(w2*x(1))-1/1000*(w2-50).^2-sin(w2*x(3))-x(3)-1; 
%画出半无穷约束的图形 
plot(w1,k1,'-',w2,k2,'+'); 

（3）调用函数 fseminf 在 Matlab 的命令窗口输入  

[x,y]=fseminf(@fun6,rand(3,1),2,@fun7) 

即可求得结果。

3.3  fminimax 函数 

上述问题的 Matlab 命令为    

 X=FMINIMAX(FUN,X0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,NONLCON) 

解  （1）编写 M 文件 fun8.m 定义向量函数如下： 

function f=fun8(x); 
f=[2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304     
   -x(1)^2-3*x(2)^2     
    x(1)+3*x(2)-18     
   -x(1)-x(2)     
    x(1)+x(2)-8]; 

（2）调用函数 fminimax 

[x,y]=fminimax(@fun8,rand(2,1)) 

3.3.4  利用梯度求解约束优化问题 

分析：当使用梯度求解上述问题时，效率更高并且结果更准确。 题目中目标函数的梯度为： 

解  （1）编写 M 文件 fun9.m 定义目标函数及梯度函数： 

function [f,df]=fun9(x); 
f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 
df=[exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+8*x(1)+6*x(2)+1);exp(x(1))*(4*x(2) +4*x(1)+2)]; 

（2）编写 M 文件 fun10.m 定义约束条件及约束条件的梯度函数： 

function [c,ceq,dc,dceq]=fun10(x); 
c=[x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1.5;-x(1)*x(2)-10]; 
dc=[x(2)-1,-x(2);x(1)-1,-x(1)]; ceq=[];dceq=[]; 

（3）调用函数 fmincon，编写主函数文件 example13.m 如下： 

%采用标准算法 
options=optimset('largescale','off'); 
%采用梯度 
options=optimset(options,'GradObj','on','GradConstr','on'); 
[x,y]=fmincon(@fun9,rand(2,1),[],[],[],[],[],[],@fun10,options) 
 

4 Matlab 优化工具箱的用户图形界面解法 

Matlab 优化工具箱中的 optimtool 命令提供了优化问题的用户图形界面解法。 optimtool 可应用到所有优化问题的求解，计算结果可以输出到 Matlab 工作空间中。 
 

例 14  用 optimtool 重新求解例 2。 

解  （i）编写 M 文件 fun1.m 定义目标函数 

function f=fun1(x); 
f=sum(x.^2)+8; 

（ii）编写M文件fun2.m定义非线性约束条件 

function [g,h]=fun2(x); 
g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2 
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];  %非线性不等式约束 
h=[-x(1)-x(2)^2+2 
   x(2)+2*x(3)^2-3]; %非线性等式约束 

利用例 2 已经定义好的函数 fun1 和 fun2。在 Matlab 命令窗口运行 optimtool，就打 开图形界面，如图 1 所示，填入有关的参数，未填入的参数取值为空或者为默认值，然 后用鼠标点一下“start”按钮，就得到求解结果，再使用“file”菜单下的“Export to Workspace…”选项，把计算结果输出到 Matlab 工作空间中去。 

 

4  非线性规划的应用：飞行管理问题

在约 10，000m 高空的某边长 160km 的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平 飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。 当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会 与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机 飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下：

1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于 8km;

2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过 30 度；

3）所有飞机飞行速度均为每小时 800km;

4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在 60km 以上；

5）多需考虑 6 架飞机；

6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进 行计算（方向角误差不超过 0.01 度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 

设该区域 4 个顶点的座标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。记录数据见表 1。 

4.1  模型一 

本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的大调整量小； 所有飞机的调整量绝对值之和小等。这里以所有飞机的调整量绝对值之和小为目标 函数，可以得到如下的数学规划模型： 

利用如下的程序： 

clc,clear 
x0=[150 85 150 145 130 0]; 
y0=[140 85 155 50 150 0]; 
q=[243 236 220.5 159 230 52]; 
xy0=[x0; y0]; 
d0=dist(xy0);   %求矩阵各个列向量之间的距离 
d0(find(d0==0))=inf; 
a0=asind(8./d0)  %以度为单位的反函数 
xy1=x0+i*y0 xy2=exp(i*q*pi/180) 
for m=1:6      
    for n=1:6          
        if n~=m          
            b0(m,n)=angle((xy2(n)-xy2(m))/(xy1(m)-xy1(n)));           
        end 
    end 
end 
b0=b0*180/pi; 
dlmwrite('txt1.txt',a0,'delimiter', '\t','newline','PC'); 
fid=fopen('txt1.txt','a'); 
fwrite(fid,'~','char');       %往纯文本文件中写 LINGO 数据的分割符 dlmwrite('txt1.txt',b0,'delimiter', '\t','newline','PC','-append','roffset', 1) 

上述飞行管理的数学规划模型可如下输入 LINGO 求解： 

 

model: 
sets: 
plane/1..6/:delta; 
link(plane,plane):alpha,beta; 
endsets 
data: 
alpha=@file('txt1.txt');   !需要在alpha的数据后面加上分隔符"~"; 
beta=@file('txt1.txt'); 
enddata 
min=@sum(plane:@abs(delta)); 
@for(plane:@bnd(-30,delta,30)); @for(link(i,j)|i#ne#j:@abs(beta(i,j)+0.5*delta(i)+0.5*delta(j))>a 
lpha(i,j)); 
end

 

4.2  模型二

 

 

 计算到这里也没有展开的必要了。由于目标的约束是< 0和 <= 的不等式约束。用罚函数的方式编写和求解，有思路的人请留言到评论区讨论吧

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习 题 

 

非线性规划（一）：定义与数值优化方法(梯度法、牛顿法、拟牛顿法、变尺度法)

非线性规划（二）: Matlab 求解约束极值问题