【数学】中国剩余定理
特殊情况
我们先来看一下问题，现在有n个同余方程组（如下图）
其中m两两互质。
求解。
问题很简单，结论也很简单，我们用构造的思路来想一想，能不能整一个解x，使得其有每个方程的一部分，但是当x%mi时除了第i个方程的部分以外都被%成0，即x%mi=ai,这是可以的.
(源自百度，很清楚了)
由于aitiMi%mj=0(i!=j).且aitiMi%mi=ai.
所以x%mi=ai;
但这不仅仅是我现在想讲的，因为在很多的题目中，m往往并不互质。这时怎么办呢？
我们只有换一下思路了。
一般情况
不再考虑整个一起求，那样会变得十分的麻烦。很明显如果能够将2个方程合并成一个，那么问题就解决了。
已知：
x mod m[1] = r[1]；
x mod m[2] = r[2]；
根据这两个式子，存在两个整数k[1],k[2]：
x = m[1] * k[1] + r[1]
x = m[2] * k[2] + r[2]
由于两个方程的左边都是x，因此有：
m[1] * k[1] + r[1] = m[2] * k[2] + r[2]
m[1] * k[1] - m[2] * k[2] = r[2] - r[1]
由于m[1],m[2],r[1],r[2]都是常数，若令A=m[1],B=m[2],C=r[2]-r[1],x=k[1],y=k[2]，
则上式变为：Ax + By = C。
可以用exgcd求出 k[1] ，k[2]
再把k[1]代入x = m[1] * k[1] + r[1]，就可以求解出x。
接下来我们将这个x作为特解，扩展出一个解系：
X = x + t*lcm(m[1], m[2]) t为整数，lcm(a,b)表示a和b的最小公倍数
将其改变形式为：
X mod lcm(m[1], m[2]) = x
令M = lcm(m[1], m[2]), R = x，则有新的模方程X mod M = R
经过上述步骤，我们将x mod m[1] = r[1] x mod m[2] = r[2]
这两个方程合并为了一个新方程X mod lcm(m[1], m[2]) = x；
至此，问题的理论基础就完成了。
看看例题：
一.poj1006:Biorhythms
题目是英文，翻译过来就是：
人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。
现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
说白了n=3时的特殊情况。
二.HDU1573:X问题
中文题，自己看。
这道题就是一道板题。代码如下：
#include三.hihocoder1303 : 数论六·模线性方程组
这道题还是一道板题。代码如下：
#include四.HDU3579：Hello Kiki
题意：给定N组数(ai, ri)。求一个最小的正整数K，满足所有的K mod ai = ri。
这道题还是一道板题，但是题目要求正整数，所以不能是0，如果是0最后要加M。
#include五.[NOI2018 D2T1]屠龙勇士
首先，对于每一条龙，我们都可以知道我们要用哪一把剑，这个可以直接map查找完成，在确定了用哪一把剑后，我们在知道了龙的血量A[i],恢复力m[i]，和我们的攻击力xs[i]后（字母乱打的，勿喷）。可以知道这样一个等式：A[i]-X * xs[i]=0(mod m[i]),移项得A[i]=X * xs[i](mod m[i])所以先同时约去公因数后求出xs[i]在mod m[i]意义下的逆元可得X=A[i]*(xs[i])^-1(mod m[i])这样就有n个方程了，用中国剩余定理解决即可。
下面是代码。
#includelong long a1=A[i],a2=A[i+1],n1=M[i],n2=M[i+1];
long long c=(a2-a1)%n2,D=gcd(n1,n2);
if(c%D!=0)
{
key=1;
break;
}
long long ny=findny(n1/D,n2/D);
long long K=(ksc(c/D,ny,(n2/D))+(n2/D))%(n2/D);
long long zm=n1/D*n2;
long long za=ksc(n1,K,zm)+a1;
za=(za%zm+zm)%zm;
A[i+1]=za;
M[i+1]=zm;
}
if(!key)
{
long long X=A[n];
X=(X%M[n]+M[n])%M[n];
if(Xint cc=(mi-X+M[n]-1)/M[n];
X+=cc*M[n];
}
printf("%lld\n",X);
}
else
printf("-1\n");
}
//fclose(stdin);
//fclose(stdout);
} 六.HDU1788:Chinese remainder theorem again
题意：给定数组Mi和数字a，求一个最小的数K，满足K mod mi = (mi - a)。
这道题很明显可以用中国剩余定理直接做，但是既然a都一样，会不会有什么巧妙的方法呢？
我们把每个式子合并一下看看。
x mod m[1] = -a；
x mod m[2] = -a；
根据这两个式子，存在两个整数k[1],k[2]：
x = m[1] * k[1] -a;
x = m[2] * k[2] -a;
由于两个方程的左边都是x，因此有：
m[1] * k[1] -a= m[2] * k[2] -a;
m[1] * k[1] - m[2] * k[2] = 0;
即
m[1] * k[1] =m[2] * k[2];
令 K=m[i]*k[i];
所以很明显x=K-a;
这样我们来看一下这个K，很明显K是所有m[i]的倍数，用于题目要求x最小，因此K为所有m的最小公倍数，最后答案是K-a
#include七.HDU3430:Shuffling
题意：给定一种重排规则A[N]，A[i]表示将第A[i]个数放到第i个位置（1<=i<=N）。然后给定一个目标状态，问从起始状态到达目标状态，最少需要经过多少步。
想用置换群？只用置换群一步步的变上去是会T的，在算出起始状态和目标的置换群后先看一下是否一样。如果不一样，直接-1，如果一样，就可以列方程了，比如(12)(345)(6)到(21)(534)(6)可得
x=1(mod2)
x=2(mod 3)
x=0(mod1)
然后用中国剩余定理解出答案即可
。
#include