数字滤波器(四)--模拟滤波器转化为数字滤波器

引

数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统
数字滤波器(三)–模拟滤波器的设计

1. 映射方法

映射的目的就是从模拟滤波器转换到数字滤波器，这个过程就是从已知的模拟滤波器系统函数$H_a(s)$映射为数字滤波器的系统函数$H(z)$, 因此从模拟滤波器转为数字滤波器的根本就是从s平面转化为z平面。该映射需要满足两个要求：

• $H(z)$的频率响应要能模仿$H_a(s)$的频率响应，s平面虚轴要映射为z平面的单位圆。
• 因果稳定的$H_a(s)$能映射为因果未稳定$H(z)$，即s平面的左半平面$Re[s]<0$要映射为z平面单位圆内部$|z|<1$

一般的转化方法有两种：冲激响应不变法与双线性变换法

2. 冲激响应不变法

2.1 变换步骤

冲激响应不变法就是使数字滤波器的单位脉冲响应$h(n)$模仿模拟滤波器的冲激响应$h_a(t)$，也就是说，我们将$h_a(t)$进行等间隔采样，使得$h(n)$刚好等于$h_a(t)$的T间隔采样值，即：
$$h(n)=h_a(t){|}_{t=nT}$$
假定$h(n)<->H(z),h_a(t)<->H_a(s)$,则可以得到模拟滤波器数字化的过程为：
$$H_a(s)->h_a(t)->h(n)->H(z)$$
这个过程也就是时域采样、频域周期延拓的过程。

利用冲激响应不变法设计数字低通滤波器的步骤如下所示：

• 第一步
  根据给定的数字低通滤波器的指标$w_p$, $w_{st}$, ${\delta }_p$, ${\delta }_s$;
• 第二步
  选择合适的T值，求解模拟指标${\Omega }_p=\frac{w_p}{T}$, ${\Omega }_{st}=\frac{w_{st}}{T}$
• 第三步
  根据指标$w_p$, $w_{st}$, ${\delta }_p$, ${\delta }_s$，设计模拟滤波器，并的系统函数$H_a(s)$
• 第四步
  将系统函数$H_a(s)$进行部分分式展开，展开成（可查表进行因式分解）
  $$H_a(s)=\sum _{k=1}^N\frac{A_k}{s-s_k}$$
• 第五步
  依据冲激响应不变法，数字滤波器的系统函数为
  $$H(z)=\sum _{k=1}^N\frac{T{A}_k}{1-e^{s_{k}T{z}^{-1}}}$$
  其中采样间隔T的取值不影响滤波器的设计，为了计算方便，一般取1居多。

下面个通过两个例子来说明：

• 例1
  
  
• 例1
  
  

2.2 冲激响应不变法的优缺点

冲激响应不变法的优点：

• 冲激响应不变法的时域逼近良好；
• 模拟频率$\Omega$与数字频率$w$之间呈线性映射关系$w=\Omega T$

冲激响应不变法的缺点：

• 冲击响应不变法设计的滤波器会有频率响应的混叠效应
• 冲激响应不变法仅适用于限带的模拟滤波器（比如衰减特性很好的低通或者带通滤波器），而高频衰减越快，混叠效应越小；而对于高通、带阻滤波器，不便采用此方法进行设计。

3. 双线性变换法

3.1 变换步骤

双线性变换法首先采用非线性频率压缩的方法，将这个频率轴上的频率方位压缩至$[-\frac{\pi }{T},\frac{\pi }{T}]$，在通过$z=e^{sT}$将s平面映射到z平面，这样s平面和z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，从而消除了频谱混叠现象，如下图所示：

双线性变换关系的表达式为：
$$s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$

双线性变换法设计模拟低通滤波器的步骤为：

• 第一步
  根据给定的数字低通滤波器的指标$w_p$, $w_{st}$, ${\delta }_p$, ${\delta }_s$;
• 第二步
  通过预畸变，确定模拟指标：$\Omega =\frac{2}{T}tan(\frac{w}{2})$(T的取值一般为2)
• 第三步
  根据指标$w_p$, $w_{st}$, ${\delta }_p$, ${\delta }_s$，设计模拟滤波器，并得到系统函数$H_a(s)$
• 第四步
  依据双线性变换法，数字滤波器的系统函数为
  $$H(z)=H(s){|}_{s=\frac{2}{T}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}$$

值得注意的是，在变换过程中，采样间隔T一般取2，会通过计算抵消，因此其取值不影响设计。

下面我们通过两个例子来感受下双线性变换法设计数字滤波器：

• 例1
  
  
• 例2
  
  

3.2 双线性变换法的优缺点

优点：
消除了冲激响应不变法的混叠效应，可以设计各种类型的滤波器。
缺点：
存在着严重的非线性频率变换：
$$\Omega =\frac{2}{T}tan(\frac{w}{2})$$
对于分段常数的滤波器，经过双线性变换后，仍然得到幅频特性为分段常数的滤波器，但各个分段边缘的临界频率点的位置会产生畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变加以校正。
预畸变指的是将临界模拟频率实现加以畸变，然后经过变换后刚好可以映射到所需要的的数字频率上；预畸变的表达式为：
$${\Omega }_p=\frac{2}{T}tan(\frac{w_p}{2})$$
在双线性变换法设计数字滤波器时必须进行预畸变操作。