密码学——复杂度问题

无论在密码学当中还是在各种别的算法当中，复杂度分析都是一个比较重要的用来衡量算法效率的概念。首先说一下欧几里得算法和扩展欧几里得算法，无论欧几里得算法还是扩展欧几里得算法他们的复杂度相同的，是由同一个问题引申出来的——找到两个数的最大公因数问题。欧几里得算法也就是辗转相除法。对于欧几里得算法的复杂度问题之前一直不明白，现在知道每经过两次相除，余数的位数必定会降低1位，由此得到的其复杂度为2lgn。在密码学当中的复杂度衡量经常是按位来衡量的，比如说可能我们觉得一次加法的复杂度是O（1），可是当按位衡量时就跟操作数位数有关了，例如说一个512位的数加法就是O（512），（这里的O应该是按位算的O，Ob）。如何比较形式的表示加法，减法，乘除的复杂度呢，就是加法和减法相同为O（lga），而乘除就是O（lga平方），既然对于欧几里得算法和扩展欧几里得算法要做2lga次，那么就可以得到欧几里得和扩展欧几里得算法的复杂度是O（lga的立方）。但是根据欧几里得算法本身的特点，其算法的复杂度可以降低到O（lga的平方），尽管说与乘除在一个量级上，但是还是要比乘除的时间要长的，毕竟欧几里得算法是由除法或者模运算构成的。