相信不少人在复习组合数学的时候,最头疼的东西之一就是那些转来转去的正多面体了,尤其是到了八面、十二面、二十面甚至足球的时候,空间想象能力受到了极大挑战。本人也不例外,为了搞通这个东西花了好长一段时间。本着期末考试之前攒人品的原则,下面概述一下我通过复习总结出来的一套对付此类问题的理论。可以保证,你只需跟着我这篇日志进行复习,30分钟即可搞通所有的正多面体转动群。
在全篇开始之前需要郑重声明的是,讲这一章节的时候我基本没去上课,只听了讲足球形状那一次,而且复习课也没去,如果我的理论与马昱春老师的有相同之处,应属于分别独立得到的研究成果,不属于学术抄袭。
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我通篇的理论都是专注于如何写出置换群的表格形式,比如正二十面体的“棱中对棱中翻转”的置换形式是(1)^2 (2)^14,一共有15个这样的置换。我认为只要能够轻松写出任意正多面体的任意一个转法的置换形式,大多数染色题目基本可以迎刃而解。需要注意的就是火柴问题,情况比染色复杂,可能需要额外做题,这个暂且不论。
首先,给出一个重要的概念——底座。
底座,是指把多面体的一个顶点(称为尖顶)放到视角中心,从上往下俯视看到的第一层轮廓。面数较小的情况下,底座就是俯视图的最外围轮廓,但面数增多时就不一定了。总之,我们只讨论与尖顶有边相连的那个底座。
底座是原多面体的一个切面。每个底座都拥有中心的尖顶,以及从这个尖顶连结到底座各顶点的棱,以及底座的侧边。下面依次来看底座的形状:
(1)正四面体
正四面体的底座就是它自己的一个底面,侧边就是它自己的三条边。属于“底座易见类”多面体。
(2)正六面体
正六面体的底座是三条虚线的那三个顶点组成的正三角形,它的侧边实际上是三个等腰直角三角形。理解这两点需要一些想象能力。属于“底座难见类”多面体。
(3)正八面体
正八面体的底座是图中的正方形,侧边是自己的四条边。属于“底座易见类”多面体。
(4)正十二面体
正十二面体由一堆五边形组成,它的底座实际上也是一个正三角形,与正六面体不同的是,它的侧边实际上是切割五边形得到的三角形,这个三角形的顶角是120度。看到这一点也需要一些想象能力,它属于“底座难见类”多面体。
(5)正二十面体
正二十面体看起来复杂,其实底座很容易看出,就是一个正五边形,并且由一个尖顶连接着各个顶点,像一个宫殿的顶部。底座的侧边就是正二十面体自己的五个侧面,都是正三角形。它属于“底座易见类”多面体。
本质上讲,对一个多面体的旋转,就是对它的各个底座的旋转。可以说,只要脑子里能想出底座的形状,你就可以说“完全”了解了对应的那个正多面体,即使你根本无法画出或想象出那个多面体的整体形状。
为什么这么说呢,因为正多面体有一个很好的性质,就是对称性。这个对称性在我们讨论旋转置换的时候,在做题的时候,对应的物理意义就是两个字:“信心”。你永远可以坚信,当这个底座发生旋转的时候,其他的点、面、棱也在按照相同的规律进行着旋转。
老师说过,旋转置换可以按照不同的对称轴分为四大类情况:不动、点对点、面对面、棱对棱。对底座易见类多面体来说,点对点的旋转最好理解,比如正四面体;对底座难见类多面体来说,面对面的旋转最好理解,如正六面体。下面分别讨论点对点、面对面、棱对棱旋转。
(1)点对点
了解底座之后,对称轴是点对点的情况就相当于在底座上印了一条高,绕着这条高来转。你会突然发现这想起来变得异常简单了,是不是?因为,点对点旋转有几种情况,完全取决于底座是几边形。如果是奇数边形,就直接有n-1种转法,如果是偶数边形,需要考虑是90度还是180度,因为这两种情况下循环个数不一样。
接下来的问题是如何写出具体的形如(1)^2 (3)^2 之类的置换形式,而且需要针对点染色、面染色、棱染色分别讨论。这就是本文的精髓所在了,根据对称性,我总结出一个置换大定理:
<1>: 任何情况下,有且仅有对称轴上的两个对象是不动的,其它的都动。
比如,点对点旋转时,只有两个不动点;轴对轴旋转时,只有两个不动轴;面对面旋转时,只有两个不动面。写成置换形式就是(1)^2。
<2>: 在不区分90度还是180度的情况下,有m种旋转方式时,点染色、面染色、棱染色均可以写成 (m+1)^k的形式。这里的k需要根据不同多面体的点、面、棱数决定,只要满足(m+1)乘以k等于那个数目即可。
因此,对点对点轴旋转,我们可以列表如下:(正四面体实际上是点对面,单独写 )
旋转方向种类 点染色 面染色 棱染色
正六面体: 2 (1)^2 (3)^2 (3)^2 (3)^4
正十二面体: 2 (1)^2 (3)^6 (3)^4 (3)^10
正二十面体: 4 (1)^2 (5)^2 (5)^4 (5)^6
即使是需要区分90度还是180度的情况,对点染色、面染色、棱染色来说,每个分组的大小也是一样的:
旋转方向种类 点染色 面染色 棱染色
正八面体:90度 2 (1)^2 (4)^1 (4)^2 (4)^3
180度 1 (1)^2 (2)^2 (2)^4 (2)^6
(2)面对面
面对面的情况更简单。当点对点的时候,你还得考虑底座是什么样子,才能知道旋转方向种类m等于几。而面对面时,你只需要知道多面体的每个面是几边形就行了,因为在不需要区分90度还是180度的情况下,旋转种类m就等于边数减一。(五边形就是4种,三边形就是2种,49边形就是48种)至于多面体长什么样子,完全没必要知道,因为对称性给了我们使用“置换大定理”的充分信心。
旋转种类 点染色 面染色 棱染色
正八面体: 2 (3)^2 (1)^2 (3)^2 (3)^4 (面为三角形)
正十二面体: 4 (5)^4 (1)^2 (5)^2 (5)^6 (面为五边形)
正二十面体: 2 (3)^4 (1)^2 (3)^6 (3)^10 (面为三角形)
这是不是很简单啊。
即使是需要区分90度还是180度的情况,对点染色、面染色、棱染色来说,每个分组的大小也是一样的:
旋转方向种类 点染色 面染色 棱染色
正六面体:90度 2 (4)^2 (1)^2 (4)^1 (4)^3
180度 1 (2)^4 (1)^2 (2)^2 (2)^6
(3)棱对棱
棱对棱是最难想象的一种,但在我的理论中是最简单的一种,因为根据对称性给我们充分信心,棱对棱只有180度这一种情况,因此对所有多面体来说都只有1种旋转方向。根据置换大定理,所有多面体的棱对棱旋转都可以写成 (2)^x 的形式,只需要根据棱的数量更改x就可以了。当然,别忘了棱染色时有两个不动点(1)^2。
点染色 面染色 棱染色
正四面体: (2)^2 (2)^2 (1)^2 (2)^2
正六面体: (2)^4 (2)^3 (1)^2 (2)^5
正八面体: (2)^3 (2)^4 (1)^2 (2)^5
正十二面体:(2)^10 (2)^6 (1)^2 (2)^14
正二十面体:(2)^6 (2)^10 (1)^2 (2)^14
是不是已经感觉很弱智了?没错,这就是对称性和置换大定理给我们带来的的强大信心。
如果你能够自己写出上面的置换形式,这些多面体对你来说就没啥新意可言了。尽管你可能都画不出来这个多面体。
另外,还有一个小技巧,就是在检查置换种类总个数的时候,应该等于面数乘以每个面的边数。
按照 不动+点点+面面+棱棱 的顺序写出种类个数之和,如下表:
正四面体: 1+8+3 = 12种 = 4x3 (三角形)
正六面体: 1+8+(6+3)+6 = 24种 = 6x4 (四边形)
正八面体: 1+(6+3)+6+8 = 24种 = 8x3 (三角形)
正十二面体:1+20+24+15 = 60种 = 12x5 (五边形)
正二十面体:1+24+15+20= 60种 = 20x3 (三角形)
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关于足球:
单拉出足球来是因为足球不满足对称性,它既有12个五边形又有20个六边形,比较复杂。但其实,它也没有想象中那么复杂。先看一下图像:
可以看出,足球在本质上是由五边形组成的,它其实就是12个不相交的五边形组成的多面体,六边形实际上相当于是为了封闭而填充进来的面。下面按照置换大定理的思路讨论下足球:
(1)点对点
可以看到,点对点的连线在足球上特别不对称,因为底座的侧边有一个是黑的(五边形)两个是白的(六边形)。这怎么旋转呢?没法旋转。因此,点对点轴旋转在足球上不存在。
(2)面对面
这要分每个面是五边形还是六边形了。根据置换大定理,五边形就是五个一组(m=5-1,5-1+1=5),六边形似乎就是六个一组(m=6-1,6-1+1=6)。但可惜的是,六边形中有三条边在五边形上,三条边不在五边形上,要求置换时必须满足三条边内部互换。因此就只有两种旋转方式了,所以m=2,2+1=3个一组。
点染色 面染色 棱染色
五边形: (5)^12 (1)^2 (5)^6 (5)^18
六边形: (3)^20 (1)^2 (3)^10 (3)^30
(3)棱对棱
棱对棱虽然简单,但要注意的是只有不在五边形上的棱才具有对称性,否则转不了。因此90条棱中,只有90-12x5 = 30条棱可以转,也就是15个棱对棱轴。由于只有180度的旋转,根据置换大定理,仍然可以写成(2)^x 的形式。
点染色 面染色 棱染色
足球: (2)^30 (2)^16 (1)^2 (2)^44
同样,可以用上面提到的小技巧检查置换种类总个数,即应该等于面数乘以每个面的边数:
1+24+20+15 = 60种 = 12x5 (五边形)
这也说明,足球在本质上是由五边形组成的。
详细文档参见
[http://pan.baidu.com/s/1gfG0O5X]