牛客多校5 - Graph(字典树+分治求最小生成树)

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题目大意：给出一棵树，每条边都有一个权值，每次操作可以删除任意一条边或者增加任意权值的一条边，现在可以执行数次操作，不过任何时间都要满足以下两个条件：

1. n 个点互相连通
2. 所有环的权值异或和为 0

求数次操作后图上边权之和的最小值

题目分析：将题意转换一下就可以转换为经典问题：完全图上的最小生成树，给出 n 个点，每个点都有权值 a[ i ] ，每条边的权值为 a[ i ] ^ a[ j ] 现在需要求最小生成树

这个题目只需要 dfs 跑一遍就可以转换为上述问题了，这里不多赘述，那么将问题转换后，该如何求解呢

有个 boruvka 算法也是求解最小生成树问题的，只不过是克鲁斯卡尔算法和普雷姆算法的结合版本，具体就是维护图中的所有连通块，然后贪心去找每一个连通块和其余所有的连通块之间的最小边权，将其合并为一个连通块，如此往复

那么和这个题目有什么联系呢？首先抛出一个问题：把当前图的点集随意划分成两半，递归两半后选出连接两个点集的边中权值最小的一条，得到最后的最小生成树。

乍一看没什么问题，但仔细想一下就会发现这个策略其实是错误的，因为最终的最小生成树中可能有两条连接当前层两个点集的边

但是对于本题而言，我们可以借助01字典树划分点集，借一下图：https://www.cnblogs.com/qieqiemin/p/13381095.html

当我们在字典树上从最高位到最低位维护每一个数字后，显然每一个节点的左右两个儿子，就已经将所有的点划分为两个集合了

以上图中的划分方法为例，假设两个集合是从第 deep 层的高度分开，显然两个集合中 deep 往上的位置在二进制下都是相同的，不同的只是 deep - 1 及往下的位置，所以合并上图中两个绿色集合中的点集所需要的最小代价就是：(1<

这样贪心由下往上去合并的话，上面那个错误的策略，在这个题目中的正确性得到了保证

综上所述，总结一下本题的求解方法，在计算出每个点的权值后，将其放入01字典树中，然后对于每一层深度分治即可，需要注意的几个地方就是，这个题目每个点的范围是 0 ~ n-1 ，而不是 1 ~ n，还有就是对于点权相同的点来说，我们可以想象在其之间建立一条边，因为花费为 0 ，所以不会对答案造成影响，故在处理时，对点权去重一下可以减少时间复杂度

至于实现，对于每次左右子树中的两个连通块，我是vector暴力维护的点集（向上传递完毕后不要忘记及时初始化，防止爆内存），然后遍历点集数更小的连通块，在另一个连通块中找异或值最小的答案，这个就是01字典树的基本应用了，所以字典树在本题中共有两个用途，一个是基本应用，也就是贪心去查找异或值最小的答案，另一个是结合最小生成树的贪心策略，将其分块处理

时间复杂度的话，因为字典树的高度为30，所以分治+vector暴力维护点集的时间复杂度为 nlogn，加上需要在字典树上查找异或的最小值，需要多加一个log，总的时间复杂度也就是 nlognlogn 了

代码打注释了，有不理解的地方看看代码应该就明白了

代码：
 

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