语音信号线性预测(LPC)分析

一. 语音信号数字模型

条件：

1. 忽略鼻音/摩擦音/爆破音等

2. 语音信号短时不变，帧长10-30 ms（可近似为线性时不变系统）

声道的声管模型-一系列截面积不等的无损声管级联

那么语音信号的产生过程简化为：单位脉冲序列（肺部产生的气流）激励声道模型（声管）。线性预测lpc模型的本质即探究声管模型的性质（参数）。

二.线性预测模型(计算LPC系数)

1. 模型建立：

根据上面的条件，分帧后的语音信号产生可以等效为单位脉冲序列激励声道管，该过程为线性时不变系统：

写成差分方程形式：

x(n)为真实信号，加权项为预测信号，e(n)为预测误差。根据e(n)的最小均方误差（MSE）准则来计算滤波器系数ai。

MSE期望值：

求ai为多少的情况下，E可取极小值，对ai求偏导：

结果化简为：

写成自相关形式（Yule-Walker方程）：

拆写加权式子，即为Toeplize矩阵：

使用Durbin算法来求解Toeplize矩阵，即可计算出滤波器系数ai。

二.MATLAB中的lpc函数

原理说这么多，MATLAB里面，一个lpc函数就能解决所有的问题，我们来看看这个函数。

[a, g] = lpc(x, p);
% [a,g] = lpc(x,p) finds the coefficients of a pth-order linear predictor (FIR filter) that predicts the current value of the real-valued time series x based on past samples.

帮助文档给出线性预测过程的差分方程为：

a = [1 a(2) … a(p+1)]

注意，这里的a(0)取值为 0，a(1)=1，使用lpc系数的时候一定要注意a(0)的取值。

三. MATLAB结果

1. 预测误差

[x,fs] = audioread('file.wav');
sound(x,fs);
n = 200; % n is the length of a frame.
p0 = 50; % p0 is the overlap length.
xx = buffer(x, n, p0);

m = 8; % (m)th frame of data.
y = x((m-1)*n+1:m*n); % select a frame of data.
p = 12; % p is the order of the AR model.
ar = lpc(y,p); % calculate the coefficients of AR model.
est_x = filter([0 -ar(2:end )],1,y); % calculate the predicted signal.
err = y - est_x; % calculate the residual signal.

画出某一帧预测残差信号的波形：

2. 预测信号

先小结一下信号处理的过程

• 分帧（Framing）
• 计算线性预测系数LPC coefficients
• 计算预测信号
• 合成语音信号 （Overlap Add）

这里，设定每帧信号样点数 n = 200， 相邻帧重叠长度 p0 = 150, 滤波器阶数p = 12。

图中，蓝色波形为真实语音信号，黑色波形为线性预测的结果。为什么预测信号的幅值比真实信号大？因为合成过程用到了重叠相加(Overlap Add), 相邻帧信号之间有3/4重叠部分。