Galois_Mar
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函数列与函数项级数——（一）一致收敛性

一.函数列及其一致收敛性

设f_1,f_2,...,f_n,...(1)是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列，（1）也可简单地写作\{f_n\}或f_n,n=1,2,...

函数列的极限函数记作f，则有\lim_{n\to \infty }f_n(x)=f(x),x\in D或f_n(x)\to f(x)(n\to \infty),x\in D.

函数列极限的\varepsilon -N定义：\forall \varepsilon >0,\exists N=N(\varepsilon ,x),当n>N时，有\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .

使函数列\{f_n\}收敛的全体收敛点集合，称为函数列\{f_n\}的收敛域。

定义1

设函数列\{f_n\}与函数f定义在同一数集D上，\forall \varepsilon >0,\exists N(\varepsilon )>0,\forall x\in D,当n>N时，有\left | f_n(x)-f(x) \right |<\varepsilon .则称函数列\{f_n\}在D上一致收敛于f，记作f_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow f(x)(n\to \infty),x\in D.

函数列\{f_n\}在D上一致收敛，必在D上每一点都收敛；反之，在D上每一点都收敛的函数列\{f_n\}，在D上不一定一致收敛。

不一致收敛于f的充要条件：\exists \varepsilon _0>0,\forall N>0,\exists n'>N,\exists x'\in D,有\left | f_{n'}(x')-f(x') \right |\geqslant \varepsilon _0.

定理1（函数列一致收敛的柯西准则）

函数列\{f_n\}在数集D上一致收敛的充要条件是：\forall \varepsilon >0,\exists N>0,使得当n,m>N时，对一切x\in D,都有\left | f_n(x)-f_m(x) \right |<\varepsilon .

定理2（余项准则）

函数列\{f_n\}在区间D上一致收敛于f的充要条件是：\lim_{n\to \infty}\sup_{x\in D}\left | f_n(x)-f(x) \right |=0.

推论：函数列\{f_n\}在D上不一致收敛于f的充要条件是：存在\{x_n\}\subset D,使得\left |f_n(x_n)-f(x_n) \right |不收敛于0.

定义2

设函数列\{f_n\}与f定义在区间I上，若对任意闭区间[a,b]\subset I,\{f_n\}在[a,b]上一致收敛于f，则称\{f_n\}在I上内闭一致收敛于f.

注：若I=[\alpha ,\beta ]是有界闭区间，显然\{f_n\}在I上内闭一致收敛于f与\{f_n\}在I上一致收敛于f是一致的.

二.函数项级数及其一致收敛性

设\{u_n(x)\}是定义在数集E上的一个函数列，表达式u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...,x\in E(2)称为定义在E上的函数项级数，简记为\sum _{n=1}^{\infty}u_n(x)或\sum u_n(x).称S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x),x\in E,n=1,2,...为函数项级数（2）的部分和函数列。

函数项级数的和函数，并写作u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...=S(x),x\in D,即\lim_{n\to \infty}S_n(x)=S(x),x\in D.

定义3

设\{S_n(x)\}是函数项级数\sum u_n(x)的部分和函数列。若\{S_n(x)\}在数集D上一致收敛于S(x).则称\sum u_n(x)在D上一致收敛于S(x).若\sum u_n(x)在任意闭区间[a,b]\subset I上一致收敛，则称\sum u_n(x)在I上内闭一致收敛。

定理3（一致收敛的柯西准则）

函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛的充要条件为：对任给的正数\varepsilon，总存在正数N，使得当n>N时，对一切x\in D和一切正整数p，都有\left | S_{n+p}(x)-S_n(x) \right |<\varepsilon或\left | u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+...+u_{n+p}(x) \right |<\varepsilon .

推论：函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛的必要条件时函数列\{u_n(x)\}在D上一致收敛于0.

设函数项级数\sum u_n(x)在D上的和函数为S(x),称R_n(x)=S(x)-S_n(x)为函数项级数\sum u_n(x)的余项。

定理4（余项准则）

函数项级数\sum u_n(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | R_n(x) \right |=\lim_{n\to \infty}sup_{x\in D}\left | S(x)-S_n(x) \right |=0.

三.函数项级数的一致收敛性判别法

定理5（魏尔斯特拉斯判别法）

设函数项级数\sum u_n(x)定义在数集D上，\sum M_n为收敛的正项级数，若对一切x\in D有\left | u_n(x) \right |\leqslant M_n,n=1,2,...,则函数项级数\sum u_n(x)在D上一致收敛。

也称为M判别法或优级数判别法，\sum M_n为\sum u_n(x)的优级数。

下面讨论定义在区间I上形如\sum u_n(x)v_n(x)=u_1(x)v_1(x)+u_2(x)v_2(x)+...+u_n(x)v_n(x)+...(3)

定理6（阿贝尔判别法）设

（i）\sum u_n(x)在区间I上一致收敛；

（ii）对于每一个x\in I,\{v_n(x)\}是单调的；

（iii）\{v_n(x)\}在I上一致有界，即存在正数M，使得对一切x\in I和正整数n，有\left | v_n(x) \right |\leqslant m,

则级数（3）在I上一致收敛。

定理7（狄利克雷判别法）设

（i）\sum u_n(x)的部分和函数列U_n(x)=\sum_{k=1}^{n}u_k(x)(n=1,2,...)在I上一致收敛；

（ii）对于每一个x\in I,\{v_n(x)\}是单调的；

（iii）在I上v_n(x)\overset {\rightarrow}\rightarrow 0(n\to \infty),

则级数（3）在I上一致收敛。

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他