NOI4.4.1708 麦森数 题解(C++)

NOI4.4.1708 麦森数 题解(C++)

先来个动图乐呵乐呵。
Java和C++的区别：

纯属玩笑。。。

好久没写题解了，今天来一道经典的分治题——麦森数。

题目传送门

请听题：
1708:麦森数
总时间限制: 1000ms 内存限制: 65536kB
描述

形如2^p-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数。2^p-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P (1000最后500位数字（用十进制高精度数表示）

输入
文件中只包含一个整数P(1000
输出
第1行：十进制高精度数2p-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2p-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2p-1与P是否为素数。 (多么令人高兴啊)

样例输入和输出作者不提供,太多了~

首先，你可以非常明确的知道这一题要用分治+高精度来解决，毕竟2¹⁰⁰⁰-1还是最小的。
输出的第一行就已经让人很头痛了，只不过有一个相当好用的公式直接输出。请看下面：

floor(log(2)/log(10)*n+1)

这是什么意思呢？就是指一个二进制位占十进制位中多少位，再乘以次方数(n)，最后加一且向下取整就OK了。就是酱紫的。
我们可以试一试能不能输出正确的位数。

#include
#include
using namespace std;
int n;
int main(){
	cin>>n;
	cout<<(long long)floor(log(2)/log(10)*n+1)<<endl;
}

结果是这样的：

挺香，不是吗？
接着就是一个终极之问：为什么要用分治？
答：没为什么，开心而已。。。
经过一顿对作者拳打脚踢后
答：为了提升程序的速度，保证不超时。
使用分治的思路就是说类似：
2⁵⁰⁰ = 2²⁵⁰*2²⁵⁰= …
看上去蛮像递归的。
还有一个叫做高精度乘法的东西瑟瑟发抖，自己随便列一个两位数乘以3位数的算式就知道了。

直接看代码吧，一切尽在注释中：

#include
#include//log(),floor()应该都在这个头文件
using namespace std;
int out[505];
int g[100005]/*500位乘以500位，多开一点也不会超空间*/;
int k(int n){/*n指2的次方数*/
	if(n == 0){
		return 1;
	}//递归出口
	k(n/2);//调用下一级(=2^(n/2)^2)
	for(int i = 1;i<=1000;i++){
		g[i] = 0;
	}//清0，没什么好说的 
	for(int i = 1;i<=500/*因为只要500位*/;i++){
		for(int j = 1;j<=500/*同理*/;j++){
			g[i+j-1/*类似乘法的第几位*/] += out[i]*out[j];
		}
	}//这一段就是模拟乘法，超出500位的数字我们就可以直接不要了 
	if(n%2==1){
		for(int i = 1;i<=500;i++){
			g[i]*=2;
		}
	}//取余2不尽的就先乘以2，次方数减一 
	for(int i = 1;i<=500;i++){
		out[i] = g[i]%10;//只能取个位
		g[i+1] += g[i]/10;//进位 
	}
}
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	cout<<(long long/*应该改成int也行*/)floor(log(2)/log(10)*n+1)<<endl;
	out[1] = 1;
	k(n);
	for(int i = 500;i>=2;i--){
		cout<<out[i];
		if(i%50==1){//控制50位1个回车
			cout<<endl;
		}
	}
	cout<<out[1]-1;
	//这个单独输出，因为这一位要减1，也不用怕退位，因为个位只有可能是2,4,8,6
}

本题的讲解到此结束，若有哪些地方有毛病或问题请提出。