E Two Matchings（2020牛客暑期多校训练营（第三场））（动态规划+找规律）

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64bit IO Format: %lld
judge：牛客题库

题目描述

A permutation of length n is an array $p=[p_1,p_2,\dots ,p_n]$, which contains every integer from 1 to n (inclusive) and each number appears exactly once. For example, p=[3,1,4,6,2,5] is a permutation of length 6.

Let’s call a permutation is a matching if and only if $p_i\ne i$ and $p_{p_i}=i$ for all valid i.

You are given an array $a=[a_1,a_2,\dots ,a_n]$ $(0\le a_i\le 10^9,n\ge 4$ and n is even). Define the cost of a permutation is $(\sum _{i=1}^{n}abs(a_i-a_{p_i}))/2$.

Define two matchings p, q are combinable if and only if $p_i\ne q_i$ for all i from 1 to n.

Please find two combinable matchings such that the sum of the cost of these two matchings is as small as possible. Output the sum.

输入描述:

The first line contains one integer $t(1\le t\le 5\times 10^4)$ — the number of test cases.

Each test contains two lines. The first line contains one integer n ($n\ge 4$ and n is even), The second line contains n integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ $(0\le a_i\le 10^9)$.

The sum of n across the test cases doesn’t exceed $2\times 10^5$.

输出描述:

For each test, output one line which contains only one integer representing the answer of this test.

示例1

输入

2
4
0 8 0 0
6
3 1 4 1 5 9

输出

16
16

说明

In the first test, one possible combinable matchings with the minimum sum of cost are [2,1,4,3] and [4,3,2,1]. The cost of the first matching is (|0-8| + |8-0| + |0-0| + |0-0|) / 2 = 8, the cost of the second matching is (|0-0| + |8-0| + |0-8| + |0-0|) / 2 = 8. So their sum is 8+8=16.

题解

非常有意思的一道题！

先放出官方题解：


首先需要知道，问题可以被转化为把给定的权值进行两两匹配，并求出总权值最小的两种匹配方式的权值和的和。

$p_i\ne i$ and $p_{p_i}=i$的意思就是把这些数字进行两两匹配。

$p_i\ne q_i$是指p个q对应的两种匹配里，不能出现相同的“边”，即p中的任何一对匹配都不能在q里出现。

$(\sum _{i=1}^{n}abs(a_i-a_{p_i}))/2$就是让求出匹配的权值和。因为同一对数字的差值会被计算两次，所以除2之后就是计算一次的总和了。

那么容易想到需要把a数组进行排序，然后权值和最小的匹配就是从1到n把挨着的两个数字进行匹配。（即a[0]和a[1]匹配，a[2]和a[3]匹配…）

举个例子证明一下：

3 1 4 1 5 9
排序后：
1 1 3 4 5 9

数组：1 1 3 4 5 9
邻差： 0 2 1 1 4

我们把3和4匹配的代价就是3和4的差值，即1，也就相当于在3和4之间画一段线段，代价就是线段覆盖的邻差之和。我们要使权值和最小，也就是覆盖所有的点的同时把每一个线段的长度都是最小，长度最小就是1，即挨着的数字匹配权值最小。如果存在一个长度为4的线段，那么一定存在一个区间内的线段互相交叉，这样就会有一些邻差被重复计算。并且延长了的，彼此交叉的线段还覆盖了一些以前没有计算的邻差。由于邻差都是正数，所以总权值一定变大了。

那么第二小的呢？

这里有个规律。即最小的匹配方式是两两匹配，不同对之间互不交叉。第二小的匹配方式是以4个或6个为一组，组内相互交叉，不同组之间互不交叉。

举个例子：

数组：a b c d e f g h
邻差： o p q r s t u

若以8个为一组进行交叉匹配，那么最优的匹配方式是o+p*2+q+r*2+s+t*2+u，而分割成两段长度为4的区间的话代价是o+p*2+q+s+t*2+u，由于邻差都是正数，所以分成两长度为个4的区间必定大于一个长度为8的区间。

同理，两个长度为6的区间必定优于一个长度为12的区间。

那么一个长度为12的区间分成3个长度为4的区间更优还是分成2个长度为6的区间更优呢？

可能有的人就说当然是3个长度为4的更优啦，因为分的组越多就能越少计算一些邻差了，比如我们队

事实真的是这样吗？

举个例子：

数组：a b c d e f g h i j k l
邻差： o p q r s t u v w x y

若分成3个长度为4的区间，代价是o+p*2+q+s+t*2+u+w+x*2+y。

若分成2个场地为6的区间，代价是o+p*2+q+r*2+s+u+v*2+w+x*2+y。

做差可得t*2-r*2-v*2。说明4和6并不是某一个一定最优的，这个时候就需要具体情况具体分析了。由此可得结论：任何长度为偶数的数组（$n\ge 4$）的次优匹配一定是由长度为4或6的组构成。

接下来我们就可以用dp进行求解了。

设dp[i]为前i个数字可以匹配的最优解（i为偶数）。

当n=4时，次优解为前4个分成一组。

当n=6时，次优解为前6个分成一组。

当n=8时，次优解为前4个分成一组，后4个分成一组。

当n>8时，$dp[i]=min(dp[i-4]+getV4(i-3),dp[i-6]+getV6(i-5))$

代码

#include 
#define _for(i, a) for(register int i = 0, lennn = (a); i < lennn; ++i)
#define _rep(i, a, b) for(register int i = (a), lennn = (b); i <= lennn; ++i)
#define sc(x) scanf("%d", &x)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2000005;

int n, a[maxn];
LL dp[maxn];

void init() {
    _for(i, n + 100) a[i] = dp[i] = 0;
}

int getV4(int be) {
    return a[be + 2] - a[be] + a[be + 3] - a[be + 1];
}
int getV6(int be) {
    return a[be + 2] - a[be] + a[be + 4] - a[be + 1] + a[be + 5] - a[be + 3];
}

void sol() {
    init();
    _for(i, n) sc(a[i]);
    sort(a, a + n);
    LL ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i += 2) ans += a[i + 1] - a[i];
    dp[3] = getV4(0);
    dp[5] = getV6(0);
    dp[7] = getV4(0) + getV4(4);
    for(int i = 9; i < n; i += 2) dp[i] = min(dp[i - 4] + getV4(i - 3), dp[i - 6] + getV6(i - 5));
    printf("%lld\n", ans + dp[n - 1]);
}

int main() {
    int T;
    while(cin>>T) {
        _for(i, T) {
            sc(n);
            sol();
        }
    }
    return 0;
}