扩展欧几里得算法与二元一次方程的整数解

问题引入

给出整数 a ， b ， n ，问方程 ax + by = n 什么时候有整数解？如何求出所有的整数解？

有解的充分必要条件是 gcd(a,b) 整除 n

简单解释一下，令 a = gcd(a,b) a’ ， b = gcd(a,b) b’ ,有 ax + by = gcd(a,b)(a’x+b’y) = n,如果 x ， y ，a’ , b’ 都是整数的话，那么 n 必须是 gcd(a,b) 的倍数才有解。

例如 4x+6y = 8、2x+3y = 4 有整数解，而 4x+6y = 7没有整数解。
如果确定有解，一种解题的方法是先找到一个解(x₀,y₀),那么通解就为：
x = x₀ + bt , y = y₀ - at (t 是任意整数)
利用拓展欧几里得算法便可以求出特解(x₀,y₀)

拓展欧几里得算法

当方程符合ax + by = gcd(a,b)时，可用拓展欧几里得算法求出(x₀,y₀),如下：

void extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b == 0){
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    extend_gcd(b,a%b,x,y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b)*y;
}

求任意方程 ax + by = n 的一个整数解

用拓展欧几里得算法得出方程 ax + by = gcd(a,b) 的一个特解后，利用它可以进一步得出任意方程 ax + by = n 的一个解，步骤如下：

1. 判断方程 ax + by = n 是否有整数解，有解的条件是 gcd(a,b) 可以整除 n
2. 用拓展欧几里得算法求 ax + by = gcd(a,b) 的一个解(x₀,y₀)
3. 在 ax₀ + by₀ = gcd(a,b) 两边同时乘以 $\frac{n}{gcd(a,b)}$ , 得：
   $\frac{a{x}_{0}n}{gcd(a,b)}$ + $\frac{b{y}_{0}n}{gcd(a,b)}$ = n
4. 对照 ax + by = n，得到它的一个解(x^’₀,y^’₀) 为：
   x^’₀ = $\frac{x_{0}n}{gcd(a,b)}$ ， y^’₀ = $\frac{y_{0}n}{gcd(a,b)}$

综上总的代码为:

//拓展欧几里得算法
void extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y);//参加上方

int main()
{
    int a,b,n,x(0),y(0);
    cin>>a>>b>>n;
    if(n%__gcd(a,b) == 0){ //第一步判断方程是否有整数解
        extend_gcd(a,b,x,y);//第二步求方程 ax+by=gcd(a,b) 的一个特解
        x = x*n/__gcd(a,b); //第三步计算 ax+by=n 的解
        y = y*n/__gcd(a,b);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}

若要求 x 的最小正整数解可在求出ax+by=n的解(x,y)后，令 x = (x%b + b) % b , y = (n - a*x) / b
若要求 y 的最小正整数解可在求出ax+by=n的解(x,y)后，令 y = (y%a + a) % a , x = (n-b*y) / a

应用场合

1. 求解不定方程
2. 求解模的逆元
3. 求解同余方程