拉格朗日插值法求多项式系数 （附代码）

写在前面：

学了拉格朗日插值法之后发现大家都说可以在O(n^2)时间内得到多项式系数，但是没有找到代码，网上找了很多资料又因为我太弱了没能看懂，最后在emofunx学长的帮助下终于搞明白了。
由于太弱没能看懂的文章

引入

我们都知道n个点可以确定一个n-1次的多项式F(x)，然后用拉格朗日插值法可以求出这个多项式。
拉格朗日插值法
公式为：

由这个公式，对于一个数k，我们很容易在O(n^2)时间求得F(k)的数值，如果xi是连续的，我们甚至可以利用预处理在O(n)时间内得到F(k)的数值。
但是如果xi不连续，又有多组查询，就需要得到这个多项式的系数以保证求一个函数值的时间为O(n)。

拉格朗日插值法求系数

首先观察式子，发现对于每个i, 上面部分是(x-x1) * (x-x2)… * (x-xn)/(x-xi), 下面那部分和yi都是常数。
所以可以O(n^2)处理出(x-x1) * (x-x2)… * (x-xn) 这个n次多项式，然后通过模拟长除法，O(n）时间内可以得到(x-x1) * (x-x2)… * (x-xn)/(x-xi)，然后常系数直接O(n) 暴力算出来，就得到了xi对应的多项式，最后把所有多项式加起来就得到了最终的系数。

代码如下：

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 2e3 + 50;
ll mod = 998244353;
ll qm(ll a, ll b){
    ll res = 1;
    while(b) {
         if(b&1)res = res*a%mod;
         a = a*a%mod, b>>=1;
    }return res;
}
ll a[maxn], b[maxn], c[maxn], temp[maxn];
ll x[maxn], y[maxn];
int n;
void mul(ll *f, int len, ll t){//len为多项式的次数+1，函数让多项式f变成f*(x+t)
    for(int i = len; i > 0; --i) temp[i] = f[i], f[i] = f[i-1];
    temp[0] = f[0], f[0] = 0;
    for(int i = 0; i <= len; ++i) f[i] = (f[i] + t*temp[i])%mod;
}
void dev(ll *f, ll *r, ll t){//f是被除多项式的系数，r保存f除以x+t的结果
    for(int i = 0; i <= n; ++i) temp[i] = f[i];
    for(int i = n; i > 0; --i){
        r[i-1] = temp[i];
        temp[i-1] = (temp[i-1] - t*temp[i])%mod;
    }
    return;
}
void lglr(){
    memset(a,0,sizeof a);
    b[1] = 1, b[0] = -x[1];
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        mul(b, i, -x[i]);
    }//预处理(x-x1)*(x-x2)...*(x-xn)
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        ll fz = 1;
        for(int j = 1; j <= n; ++j){
            if(j == i) continue;
            fz = fz*(x[i] - x[j])%mod;
        }
        fz = qm(fz, mod-2);
        fz = fz*y[i]%mod;//得到多项式系数
        dev(b, c, -x[i]);//得到多项式，保存在b数组
        for(int j = 0; j < n; ++j) a[j] = (a[j] + fz*c[j])%mod;
    }
}
int main()
{
    ll k;
    cin>>n>>k;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
    lglr();
    ll ans = 0;
    ll res = 1;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        ans = (ans + res*a[i])%mod;
        res = res*k%mod;
    }
    ans = (ans + mod)%mod;
    cout<

学长的教诲

1. 现代技术一般认为拉格朗日插值（模意义下）可以做到O(nlog^2n)，是利用分治法 + 多项式取模实现的。
2. 对于0,1,…,n这种特殊的取值，这个范德蒙矩阵的逆是可以用DP来O(n^2)算出的