并查集

例子就是杭电上的畅通工程:

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232

首先在地图上给你若干个城镇,这些城镇都可以看作点,然后告诉你哪些对城镇之间是有道路直接相连的。最后要解决的是整幅图的连通性问题。比如随意给你两个点,让你判断它们是否连通,或者问你整幅图一共有几个连通分支,也就是被分成了几个互相独立的块。像畅通工程这题,问还需要修几条路,实质就是求有几个连通分支。

如果是1个连通分支,说明整幅图上的点都连起来了,不用再修路了;如果是2个连通分支,则只要再修1条路,从两个分支中各选一个点,把它们连起来,那么所有的点都是连起来的了;如果是3个连通分支,则只要再修两条路……
以下面这组数据输入数据来说明
4 2 1 3 4 3
第一行告诉你,一共有4个点,2条路。下面两行告诉你,1、3之间有条路,4、3之间有条路。那么整幅图就被分成了1-3-4和2两部分。只要再加一条路,把2和其他任意一个点连起来,畅通工程就实现了,那么这个这组数据的输出结果就是1。好了,现在编程实现这个功能吧,城镇有几百个,路有不知道多少条,而且可能有回路。 这可如何是好?
我以前也不会呀,自从用了并查集之后,嗨,效果还真好!我们全家都用它!

并查集由一个整数型的数组和两个函数构成。数组pre[]记录了每个点的前导点是什么,函数find是查找,join是合并。


   
   
   
   
  1. int pre[ 1010]; //存放第i个元素的父节点
  2. int unionsearch(int root) //查找根结点
  3. {
  4. int son, tmp;
  5. son = root;
  6. while(root != pre[root]) //寻找根结点
  7. root = pre[root];
  8. while(son != root) //路径压缩
  9. {
  10. tmp = pre[son];
  11. pre[son] = root;
  12. son = tmp;
  13. }
  14. return root;
  15. }
  16. void join(int root1, int root2) //判断是否连通,不连通就合并
  17. {
  18. int x, y;
  19. x = unionsearch(root1);
  20. y = unionsearch(root2);
  21. if(x != y) //如果不连通,就把它们所在的连通分支合并
  22. pre[x] = y;
  23. }

为了解释并查集的原理,我将举一个更有爱的例子。

 话说江湖上散落着各式各样的大侠,有上千个之多。他们没有什么正当职业,整天背着剑在外面走来走去,碰到和自己不是一路人的,就免不了要打一架。但大侠们有一个优点就是讲义气,绝对不打自己的朋友。而且他们信奉“朋友的朋友就是我的朋友”,只要是能通过朋友关系串联起来的,不管拐了多少个弯,都认为是自己人。这样一来,江湖上就形成了一个一个的帮派,通过两两之间的朋友关系串联起来。而不在同一个帮派的人,无论如何都无法通过朋友关系连起来,于是就可以放心往死了打。但是两个原本互不相识的人,如何判断是否属于一个朋友圈呢?

我们可以在每个朋友圈内推举出一个比较有名望的人,作为该圈子的代表人物。这样,每个圈子就可以这样命名“中国同胞队”美国同胞队”……两人只要互相对一下自己的队长是不是同一个人,就可以确定敌友关系了。

但是还有问题啊,大侠们只知道自己直接的朋友是谁,很多人压根就不认识队长 要判断自己的队长是谁,只能漫无目的的通过朋友的朋友关系问下去:“你是不是队长?你是不是队长?”这样,想打一架得先问个几十年,饿都饿死了,受不了。这样一来,队长面子上也挂不住了,不仅效率太低,还有可能陷入无限循环中。于是队长下令,重新组队。队内所有人实行分等级制度,形成树状结构,我队长就是根节点,下面分别是二级队员、三级队员。每个人只要记住自己的上级是谁就行了。遇到判断敌友的时候,只要一层层向上问,直到最高层,就可以在短时间内确定队长是谁了。由于我们关心的只是两个人之间是否是一个帮派的,至于他们是如何通过朋友关系相关联的,以及每个圈子内部的结构是怎样的,甚至队长是谁,都不重要了。所以我们可以放任队长随意重新组队,只要不搞错敌友关系就好了。于是,门派产生了。



























下面我们来看并查集的实现。 int pre[1000]; 这个数组,记录了每个大侠的上级是谁。大侠们从1或者0开始编号(依据题意而定),pre[15]=3就表示15号大侠的上级是3号大侠。如果一个人的上级就是他自己,那说明他就是掌门人了,查找到此为止。也有孤家寡人自成一派的,比如欧阳锋,那么他的上级就是他自己。每个人都只认自己的上级。比如胡青牛同学只知道自己的上级是杨左使。张无忌是谁?不认识!要想知道自己的掌门是谁,只能一级级查上去。 

find这个函数就是找掌门用的,意义再清楚不过了(路径压缩算法先不论,后面再说)。



   
   
   
   
  1. int unionsearch(int root) //查找根结点
  2. {
  3. int son, tmp;
  4. son = root;
  5. while(root != pre[root]) //我的上级不是掌门
  6. root = pre[root];
  7. while(son != root) //我就找他的上级,直到掌门出现
  8. {
  9. tmp = pre[son];
  10. pre[son] = root;
  11. son = tmp;
  12. }
  13. return root; //掌门驾到~~
  14. }


 再来看看join函数,就是在两个点之间连一条线,这样一来,原先它们所在的两个板块的所有点就都可以互通了。这在图上很好办,画条线就行了。但我们现在是用并查集来描述武林中的状况的,一共只有一个pre[]数组,该如何实现呢? 还是举江湖的例子,假设现在武林中的形势如图所示。虚竹帅锅与周芷若MM是我非常喜欢的两个人物,他们的终极boss分别是玄慈方丈和灭绝师太,那明显就是两个阵营了。我不希望他们互相打架,就对他俩说:“你们两位拉拉勾,做好朋友吧。”他们看在我的面子上,同意了。这一同意可非同小可,整个少林和峨眉派的人就不能打架了。这么重大的变化,可如何实现呀,要改动多少地方?其实非常简单,我对玄慈方丈说:“大师,麻烦你把你的上级改为灭绝师太吧。这样一来,两派原先的所有人员的终极boss都是师太,那还打个球啊!反正我们关心的只是连通性,门派内部的结构不要紧的。”玄慈一听肯定火大了:“我靠,凭什么是我变成她手下呀,怎么不反过来?我抗议!”于是,两人相约一战,杀的是天昏地暗,风云为之变色啊,但是啊,这场战争终究会有胜负,胜者为王。弱者就被吞并了。反正谁加入谁效果是一样的,门派就由两个变成一个了。这段函数的意思明白了吧?



   
   
   
   
  1. void join(int root1, int root2) //虚竹和周芷若做朋友
  2. {
  3. int x, y;
  4. x = unionsearch(root1); //我老大是玄慈
  5. y = unionsearch(root2); //我老大是灭绝
  6. if(x != y)
  7. pre[x] = y; //打一仗,谁赢就当对方老大
  8. }

再来看看路径压缩算法。建立门派的过程是用join函数两个人两个人地连接起来的,谁当谁的手下完全随机。最后的树状结构会变成什么样,我也无法预知,一字长蛇阵也有可能。这样查找的效率就会比较低下。最理想的情况就是所有人的直接上级都是掌门,一共就两级结构,只要找一次就找到掌门了。哪怕不能完全做到,也最好尽量接近。这样就产生了路径压缩算法。

 设想这样一个场景:两个互不相识的大侠碰面了,想知道能不能干一场。 于是赶紧打电话问自己的上级:“你是不是掌门?” 上级说:“我不是呀,我的上级是谁谁谁,你问问他看看。” 一路问下去,原来两人的最终boss都是东厂曹公公。 “哎呀呀,原来是自己人,有礼有礼,在下三营六组白面葫芦娃!” “幸会幸会,在下九营十八组仙子狗尾巴花!” 两人高高兴兴地手拉手喝酒去了。 “等等等等,两位大侠请留步,还有事情没完成呢!”我叫住他俩。 “哦,对了,还要做路径压缩。”两人醒悟。 白面葫芦娃打电话给他的上级六组长:“组长啊,我查过了,其实偶们的掌门是曹公公。不如偶们一起结拜在曹公公手下吧,省得级别太低,以后查找掌门麻烦。” “唔,有道理。” 白面葫芦娃接着打电话给刚才拜访过的三营长……仙子狗尾巴花也做了同样的事情。 这样,查询中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接领导下。每次查询都做了优化处理,所以整个门派树的层数都会维持在比较低的水平上。路径压缩的代码,看得懂很好,看不懂可以自己模拟一下,很简单的一个递归而已。总之它所实现的功能就是这么个意思。























于是,问题圆满解决。。。。。。。。。

代码如下:


   
   
   
   
  1. #include
  2. #include
  3. #include
  4. #include
  5. #include
  6. using namespace std;
  7. int pre[ 1010]; //里面全是掌门
  8. int unionsearch(int root)
  9. {
  10. int son, tmp;
  11. son = root;
  12. while(root != pre[root]) //寻找掌门ing……
  13. root = pre[root];
  14. while(son != root) //路径压缩
  15. {
  16. tmp = pre[son];
  17. pre[son] = root;
  18. son = tmp;
  19. }
  20. return root; //掌门驾到~
  21. }
  22. int main()
  23. {
  24. int num, road, total, i, start, end, root1, root2;
  25. while( scanf( "%d%d", &num, &road) && num)
  26. {
  27. total = num - 1; //共num-1个门派
  28. for(i = 1; i <= num; ++i) //每条路都是掌门
  29. pre[i] = i;
  30. while(road--)
  31. {
  32. scanf( "%d%d", &start, &end); //他俩要结拜
  33. root1 = unionsearch(start);
  34. root2 = unionsearch(end);
  35. if(root1 != root2) //掌门不同?踢馆!~
  36. {
  37. pre[root1] = root2;
  38. total--; //门派少一个,敌人(要建的路)就少一个
  39. }
  40. }
  41. printf( "%d\n", total); //天下局势:还剩几个门派
  42. }
  43. return 0;
  44. }


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