整数划分问题
整数划分问题
将正整数 n 表示成一系列正整数之和， n=n1+n2+…+nk, 其中 n1>=n2>=…>=nk>=1 ， k>=1 。
正整数 n 的这种表示称为正整数 n 的划分。正整数 n 的不同的划分个数称为正整数 n 的划分数，记作 p(n) 。
例如正整数 6 有如下 11 种不同的划分，所以 p(6)=11 。
6;
5+1;
4+2,4+1+1;
3+3,3+2+1,3+1+1+1;
2+2+2,2+2+1+1,2+1+1+1+1;
1+1+1+1+1+1.
在正整数 n 所有不同的划分中，将最大加数 n1 不大于 m 的划分个数记作 q(n,m) ，称它为属于 n 的一个 m 划分。根据 n 和 m 的关系，考虑以下几种情况：
（ 1 ）当 n=1 时，不论 m 的值为多少（ m>0) ，只有一种划分即 {1};
(2) 当 m=1 时，不论 n 的值为多少，只有一种划分即 n 个 1 ， {1,1,1,...,1};
(3) 当 n=m 时，根据划分中是否包含 n ，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含 n 的情况，只有一个即 {n} ；
(b). 划分中不包含 n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 (n-1) 划分。
因此 q(n,n) =1 + q(n,n-1);
(4) 当 n
(5) 但 n>m 时，根据划分中是否包含最大值 m ，可以分为两种情况：
(a). 划分中包含 m 的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi} 的和为 n-m ，可能再次出现 m ，因此是（ n-m ）的 m 划分，因此这种划分个数为 q(n-m, m);
(b). 划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 (m-1) 划分，个数为 q(n,m-1);
因此 q(n, m) = q(n-m, m)+q(n,m-1);
综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（ 1 ）和（ 2 ）属于边界条件，（ 3 ）和（ 4 ）属于特殊情况，将会转换为情况（ 5 ）。而情况 （ 5 ）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小 m 以达到边界条件，从而解决问题。其递推表达式如下：
0 n<1 或 m<1
1 n=1 或 m=1
q(n,m) = q(n,n) n
1+q(n,n-1) n=m
q(n,m-1)+q(n-m,m) n>m>1
据此，可设计计算 q(n,m) 的递归算法如下。其中，正整数 n 的划分数 P(n)=q(n,n) 。
int Part(int n, int m)
{
if ((n < 1)||(m < 1))
return 0;
if ((n == 1)||(m == 1))
return 1;
if (n < m)
return Part(n, n);
if (n == m)
return Part(n, m-1) + 1;
return Part(n, m-1) + Part(n-m, m);
}
参考文献：
《 整数划分问题 》 hoodlum1980 ( 發發 ) 的技术博客
http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2008/10/11/1308493.html