感性理解二分图中最小顶点覆盖、最大独立集、最小边覆盖与最大匹配的关系

先说概念：

1、最小顶点覆盖：用最少的点覆盖所有的边（只要边的一个端点被选取，即算“被覆盖”）；

2、最大独立集：不直接相连的点的最大个数；

（注意：最大独立集是一个点集，其中的点两两不直接相连（独立集）、且在所有独立集中点数最多，但是我们一般只求其元素个数（即点数））

3、最小边覆盖：用最少的边覆盖所有的点。

由于二分图不存在孤立点（即无边相连的点），上述问题必定有解。

举个例子

对于上面这个二分图，

最小顶点覆盖是3，把左边三个点取完是一种可行解。有什么规律呢？设想一下，一条边要被覆盖，那么它两个端点至少有一个被取；所有边要被覆盖，即最小点覆盖，要保证每条边都至少被取了其中一个端点。这和二分图最大匹配是不是相似？如果当前存在一个匹配，剩下的未匹配点中有两点直接相连（即该边两端点都未取），那么它一定不是最大匹配；反之，若为最大匹配，其必定不存在未被覆盖的边。故最小点覆盖==最大匹配数，这即是Konig定理。

最小边覆盖是4，取1-3、2-1、2-4、3-2是一种可行解。要探究它与最大匹配的关系，我们还是先看一看它的一些性质。首先，在最优的情况下，一条边可以覆盖两个点，且选取这条边前，这两个点是不相匹配的；那么根据贪心的原则，我们可以先取一次最大匹配，这时选取出来的每条边都匹配（覆盖）了两个点。剩下的点怎么办呢？这时每条边只能覆盖一个点了。换言之，如果原本总共有n+m个点，最大匹配数是k（即覆盖前2*k个点得最小边数为k），那么剩余的点的个数为n+m-2*k，即需要用n+m-2*k条边去覆盖，因此总共需要n+m-2*k+k==n+m-k条边去覆盖，即最小边覆盖==总顶点数-最大匹配。

（另外，正如前文所说，因为二分图没有孤立点，必定存在最小边覆盖；因为最终未匹配的点必定存在与之相连并未使用的边）

最大独立集也是4，取右边整个集合是一种可行解。根据定义：最大独立集中的点相互之间无边相连，故它们不存在匹配关系。那么可以简单地理解成：把最大匹配中的点以及与它们相连的边中砍掉，剩下的就是孤立点了。因此，最大独立集==总点数-最大匹配==最小边覆盖。