逆元

为什么会有逆元这个概念。

因为 有时我们需要计算  (A/B) % M  的值， 如果B过大，或者A过大，可能会爆精度，然后我们就想到能不（A%M / B%M）

发现这种方法不对，那我们可以将除法换成乘法（A * ）% M 这样就能转化成 （A % M * % M） % M 

那我们如何来求 呢？

在就是B 的倒数，但是我们求 虽然不完全是倒数，是逆元 （倒数的扩展）

B的倒数就 是 B 对 M 取模 等于 1 。

然后我们推一下 (a/b)%m

设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；

则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*(b*c%m)%m= a*c(mod m);

即a/b的模等于a*b的逆元的模；

求逆元

求一个数的逆元（欧几里得，a 和 m 互质）

求多个数的逆元（线性筛选）

求一个数的逆元也可以用费马小定理（时间线性且 m为质数）

逆元求法1

通过扩展欧几里得 来求

限制 a  与 m  互质  

时间复杂度  O(logn)。

原理： 求  a 关于 m 的逆元

a * x = 1( mod m)

可以化简为 

a * x = m * y + 1

a * x - m * y = 1

是不是一个二元方程求解 ？ 直接上扩展欧几里得求解

ll ex_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){
	if(!b){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll d = ex_gcd(b, a%b, x, y);
	ll t = x;
	x = y;
	y = t - (a/b) * y;
	return d;
} 
ll inv(ll a, ll m){
	ll x, y;
	ll d = ex_gcd(a, m, x, y);
	x = (x % m + m) % m; 
	return x;
}

逆元求法2

费马小定理

有数据范围限制 因为用到快速幂

限制 1 <= x <= 1e9  而且 m 为质数

   就是 a 的逆元

时间复杂度 O(logn)

ll quick_pow(ll a, ll b){
	if(b < 0) return 0;
	ll ret = 1;
	 a %= m;
	 while(b){
	 	if( b & 1) ret = (ret * a) % m;
	 	b >>= 1;
	 	a = (a * a) % m;
	 }
	 return ret;
}
ll inv(ll a){
	return quick_pow(a, m - 2);
}

逆元求法 3

逆元线性筛选

限制 ： 求1,2,...,N关于 M 的逆元（M为质数）

时间复杂度 O （N）

const int mod = 1000000009;
const int maxn = 10005;
int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < 10000; i++)
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

逆元求法4

求阶乘的逆元

inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);    // fac[] 是阶乘数组
for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
    inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;