数学-算术：算术

ylbtech-数学-算术：算术

算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分，它研究数的性质及其运算。把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。在古代全部数学就叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了其中的一个分支。

1.返回顶部

1、

中文名：算术

外文名：arithmetic

研究对象： 自然数和非负分数

研究内容：数的性质及其运算

相关书籍：《 九章算术》、《算术》等

所属学科：数学

目录

1. 1 基本介绍
2. ▪ 算术规律
3. ▪ 算术演变
4. ▪ 产生发展
5. ▪ 区别比较

1. ▪ 相关书籍
2. 2 算术使用
3. ▪ 十进制
4. ▪ 算术运算
5. ▪ 加法

1. ▪ 减法
2. ▪ 乘法
3. ▪ 除法
4. 3 算术教育

2、

2.返回顶部

1、

基本介绍

算术

算术（arithmetic）是数学的一个基础分支。 它以自然数和非负分数为主要对象。算术的内容包括两部分， 一部分讨论自然数的读法、写法和它的基本运算， 这一部分包括进位制和记数法，主要是十进位制，其他的进位制与十进位制仅是采用的基数不同，都可以仿照十进位数的原理和原则进行计算，算术的另一部分包括算术运算的方法与原理的应用。如分数与百分数计算，各种量及其计算，比和比例，以及算术应用题。

自然数或正整数的数学理论就是众所周知的算术。至于几何、 代数等许多数学分支学科的名称，都是后来很晚的时候才有的。

国外系统地整理前人数学知识的书，要算是 希腊的欧几里得的《几何原本》最早。《几何原本》全书共十五卷，后两卷是后人增补的。全书大部分是属于几何知识，在第七、八、九卷中专门讨论了数的性质和运算，属于算术的内容。

古代算术工具

拉丁文的“算术”这个词是由希腊文的“数和数（音属）数的技术”变化而来的。“算”字在中国的古意也是“数”的意思，表示计算用的竹筹。中国古代的复杂数字计算都要用 算筹。所以“算术”包含当时的全部数学知识与计算技能，流传下来的 最古老的《九章算术》以及失传的许商《算术》和杜忠《算术》，就是讨论各种实际的数学问题的求解方法。

 

算术规律

算术不只是简单的计算

算术的基础在于： 整数的加法和乘法服从某些规律。为了要叙述这些具有普遍性的规律，不能用像1，2，3这种表示特定数的符号。两个整数，不管它们的次序如何，它们的和相同。例如1+2=2+1。

这一命题仅仅是这一般规律的一个特殊例子。因此当我们希望表示整数之间的某个关系——不论涉及的一些特定的整数值如何——是正确的，可以用字母a，b，c，…作为表示 整数的符号。于是，我们所熟知的五个算术规律可叙述为：

前两个是加法和乘法的交换律，它说明人们可以交换加法或乘法中元素的次序。第三个是加法的结合律，它表明三个数相加时，或者我们把第一个加上第二个与第三个的和；或者我们把第三个加上第一个与第二个的和，其结果都相同。第四个是乘法的结合律。最后一个是 分配律，它表明用一个整数去乘一个和时，我们可以用这整数去乘这和的每一项，然后把这些乘积加起来。

 

算术演变

九章算术中的勾股定理

算术是数学的一个分支，其内容包括自然数和在各种运算下产生的性质，运算法则以及在实际中的应用。可是，在数学发展的历史中算术的含义要广泛得多。

在中国古代，算是一种竹制的计算器具，算术是指操作这种计算器具的技术，也泛指当时一切与计算有关的数学知识。算术一词正式出现于《九章算术》中。《九章算术》分为九章，即方田、粟米等，大都是实用的名称。如“方田”是指土地的形状，讲土地面积的计算，属于几何的范围；“粟米”是粮食的代称，讲的是各种粮食间的兑换，主要涉及的是比例，属于算术的范围。可见，当时的“算术”是泛指数学的全体，与现代的意义不同。

直到 宋元时代，才出现了“数学”这一名词，在数学家的菱中，往往数学与算学并用。当然，此处的数学仅泛指中国古代的数学，它与古希腊数学体系不同，它侧重研究算法。

从19世纪起，西方的一些数学学科，包括代数、三角等相继传入中国。西方 传教士多使用数学，日本后来也使用数学一词，中国古算术则仍沿用“算学”。1953年，中国数学会成立 数学名词审查委员会，确立起“算术”的意义，而算学与数学仍并存使用。1937年，清华大学仍设“算学系”。1939年为了统一起见，才确定专用“数学”。

 

产生发展

算术来源于对量的认识

关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的，有 不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。

自然数的一个特点就是由不可分割的个体组成。比如说树和羊这两种事物，如果说两棵树，就是一棵再一颗；如果有三只羊，就是一只、一只又一只。但不能说有半棵树或者半只羊，半棵树或者半只羊充其量只能算是木材或者是羊肉，而不能算作树和羊。

数和数之间有不同的关系， 为了计算这些数，就产生了加、减、乘、除的方法，这四种方法就是 四则运算。

把数和数的性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。

在算术的发展过程中，由于实践和理论上的要求，提出了许多新问题，在解决这些新问题的过程中，古算术从两个方面得到了进一步的发展。

一方面在研究自然数四则运算中，发现只有除法比较复杂，有的能除尽，有的除不尽，有的数可以分解，有的数不能分解，有些数又大于1的公约数，有些数没有大于1的公约数。为了寻求这些数的规律，从而发展成为专门研究数的性质、脱离了古算术而独立的一个数学分支，叫做 整数论，或叫做初等数论，并在以后又有新的发展。

算术

另一方面，在古算术中讨论各种类型的应用问题，以及对这些问题的各种解法。在长 期的研究中，很自然地就会启发人们寻求解这些应用问题的一般方法。也就是说，能不能找到一般的更为普遍适用的方法来解决同样类型的应用问题，于是发明了抽象的 数学符号，从而发展成为数学的另一个古老的分支，指就是 初等代数。

数学如此发展，算术已不再是数学的一个分支，我们通常提到的算术，只是作为小学里的一个教学科目，目的是使学生理解和掌握有关 数量关系和空间形式的最基础的知识，能够正确、迅速地进行整数、 小数、分数的四则运算，初步了解现代数学中的一些最简单的思想，具有初步的逻辑思维能力和 空间观念。

 

区别比较

德国数学家高斯

现代小学数学的具体内容，基本上还是古代算术的知识，也就是说，古代算术和现代算术的许多内容上是相同的。不过现代算术和古代算术也还存在着区别。

首先，算术的内容是古代的成人包括数学家所研究的对象，这些内容已变成了少年儿童的数学。其次，在现代小学数学里，总结了长期以来所归结出来的 基本运算性质，即加法、乘法的交换律和结合律，以及乘法对加法的 分配律。这五条基本运算定律，不仅是小学数学里所学习的数运算的重要性质，也是整个数学里，特别是 代数学里着重研究的主要性质。

第三，在现代的小学数学里，还孕育着近代数学里的集合和函数等 数学基础概念的思想。比如， 和、差、积、商的变化，数和数之间的对应关系，以及 比和比例等。

另外，小学数学里，还包含有十六世纪才出现的十进小数和它们的四则运算。应当提出的是十进小数不是一种新的数，而可以被看作是一种 分母是10的方幂的分数的另一种写法。

现代的代数学、 数论等最初就是由算术发展起来的。后来，算学、数学的概念出现了，它代替了算术的含义，包括了全部数学，算术就变成了一个分支了。因此，也可以说算术是最古老的分支。

 

相关书籍

法国数学家费马

《算术》（Arithmetica）是古希腊后期数学家 丢番图的一部名著，著作原有13卷，长期以来，大家都以为只有1464年在 威尼斯发现的前6卷希腊文抄本，后在 马什哈德（伊朗东北部）又发现4卷阿拉伯文译本。

《算术》事实上是一部 代数著作，其中包含有一元或多元一次方程的问题，二次不定方程问题以及数论方面的问题，现存6卷中共有189题，几乎一题一法，各不相同。虽然后人将其归成五十多个类，但是仍无一般的方法可寻。并且，著作中引用了许多缩写符号，如未知量及其各次幂用S、△r、Kr、△r△、△Kr、KrK等符号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特征，与当时古希腊 欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展产生太大的影响。

直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进了。首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的重大价值，他的同胞 韦达正是在丢番图缩写代数的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪， 费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画，竟把数论引上了近代的轨道。《算术》中的不定分析，对 现代数学影响也很深远，在不同 数域上，凡是涉及 不定方程求解问题，都称之为“ 丢番图方程”或“丢番图分析”。

 

算术使用

 

十进制

在基数（前十个非负整数0，1，2，……，9）的基础上构建所有实数。一个 十进制数由一个基数序列组成，每一位数字的命名取决于其相对于 小数点的位置。例如：507.36表示5个100（10），加0个10（10），加7个最小整数单位1（10），加3个0.1（10），加6个0.01（10）。该 计数法的一个要点（也是其实现的难点）是对0与其它基数一视同仁。  

 

算术运算

算术运算指 加法、 减法、 乘法和 除法,但有时也包括较高级的运算(例如 百分比、 平方根、取幂和 对数)。算术按运算次序进行，无何集合可以进行加减乘除 四则运算（ 除以零除外），而 四则运算合乎基本公理，都可称之为一个域（Field）。

 

加法

主条目： 加法

加法是基本算术运算。简单来说，加法将两个数字结合，成为一个数字，称之为“和”。把多于两个数相加，可以视为重复的加法；这个过程称为 求和，包括在 级数中把无穷多个数相加。1的重复加法是 计数的最基本的形式。

加法满足 交换律和 结合律。加法的 单位元是0，也就是说，把任何数加上0都得到相同的数。另外，加法的 逆元素就是 相反数，也就是说，把任何数加上它的相反数都得出单位元0。例如，7的相反数是(-7)，所以 7 + (-7) = 0。

 

减法

主条目： 减法

减法是加法的相反。减法是求出两个数（ 被减数和减数）的差。如果被减数大于减数，那么差为正数；如果被减数小于减数，那么差为 负数；如果它们相等，那么差为0。

减法既不满足交换律又不满足结合律。由于这个原因，把减法视为被减数和减数的相反数的加法通常是很有帮助的，也就是说， a−b=a+ (−b)。当写成加法时，所有加法的性质都成立。

 

乘法

主条目： 乘法

乘法本质上是一组相同数字的重复累加或总和。乘法运算可得出 乘数与 被乘数（有时被通称为 因数）的 乘积。

乘法运算（由于其本质是重复累加）具有交换性和结合性；进而，它对加法和减法运算具有分配性。乘法单位为1，即，用1乘以任意数的结果仍为该数。并且，任意数字的乘法逆元素是其 倒数，即，用一个数的倒数乘以该数，其结果为乘法单位：1。

 

除法

主条目： 除法

除法是乘法的逆运算。除法运算得到两个数的 商： 被除数除以 除数。任何被除数被零除是没有定义的。对于 正数，如果被除数大于除数，其商大于1，否则商小于1（对于 负数和-1有类似的规则）。商乘以除数其结果总是被除数。

除法运算不具有交换性和结合性。正如可以将减法视为加法，除法亦可被视作被除数和除数的 倒数之间的乘法运算， 即，a÷b=a× /b。当被写为乘积形式，运算遵循乘法的所有特性。

 

算术教育

近现代的初等数学教育，可以说是在晚清(1903)颁布癸卯学制，废除科举，兴办小学、中学后才开始的。当时小学设算术课，中学设数学课（包括算术、代数、几何、三角、簿记）。民国初年(1912～1913)公布壬子癸丑学制，中学由五年改为四年，数学课程不再讲授簿记。执行时间最久的是1922年公布的壬戌学制， 将小学、中学都改为六年，各分初高两级，初小四年，高小二年， 初高中皆三年。初中数学讲授算术、代数、 平面几何， 高中数学讲授平面三角、高中几何、高中代数、 平面解析几何（高中曾分文理两科，部分 理科加授立体解析几何和微积分初步），这个学制基本沿用到1949年。中华人民共和国成立后，中小学的教育进行了改革，学制大都改为小学六年，初高中各三年，初中逐步取消算术课。50年代高中数学一度停授平面解析几何，后又恢复并增授微积分初步以及 概率论和电子计算机的初步知识。

2、

3.返回顶部

 

4.返回顶部

 

5.返回顶部

1、

https://baike.baidu.com/item/算术/344444

2、

 

6.返回顶部

 

作者：ylbtech 出处：http://ylbtech.cnblogs.com/ 本文版权归作者和博客园共有，欢迎转载，但未经作者同意必须保留此段声明，且在文章页面明显位置给出原文连接，否则保留追究法律责任的权利。

转载于:https://www.cnblogs.com/storebook/p/10898683.html