计算机与数学 —— 四元数的应用与分析

这篇博客介绍了四元数在计算机图形学中的应用

四元数

四元数在3D数学中可以用来表现旋转。四元数由四个数字组成 —— (x,y,z,w) 。其中 (x,y,z) 用于旋转所围绕的轴的向量，而 w 可以用来表现旋转的角度θ，其公式为：

w=cos(Θ/2)

四元数也可以写作一个标量n后接着一个用黑体表示的向量v，例如：

q=[nv]

四元数的好处

相对于矩阵操作或者欧拉角，使用四元数有着三个好处：

万向节死锁(gimbal lock)

万向节死锁指的是在旋转过程中，两个轴出现了重合的情况，这样一来就使得物体丢失了绕一个轴旋转的能力。

如果使用四元数，则不会出现这个情况。由于四元数所代表的是绕着某个轴的旋转，因此不会产生万向节死锁的问题。

更加顺滑的插值

在骨骼动画的插值中，相对于使用矩阵来进行Rotation中的插值，使用四元数来进行插值能够获得更加顺滑的插值，同时计算量也少得多。

占用更少的空间

这个优点很好理解 —— 四元数由四个数来表示，而矩阵则需要16个数来表示，因此所占用的空间更少。另一方面，就CPU周期来说，四元数的某些操作也更加便宜。

四元数的运算

四元数有着自己的一套运算法则，这篇博客参考了Ken Shoemake的论文，传送门。

基本运算法则

一些最基本的运算法则如下：

四元数的旋转

我们可以使用四元数来针对向量或者其他四元数进行旋转，旋转公式如下：

p′=q(p)(q−1)

其中，p可以是一个向量，也可以是一个四元数。值得一提的是，如果是针对于向量的旋转，我们需要的四元数的标量部分应该为0，并且最后我们需要忽略掉最终结果的标量部分。

下面是这个公式的证明，先可以推断出三个结论：
1. 在形式为 p′=q(p)(q−1) 的运算中， p=[v,w] ， p′=[v′,w] ，那么 N(v)=N(v′)
2. 四元数 q 与任意的非零实数相乘，上面的公式仍然成立。
3. 如果 N(q)=1 ，那么 q=[vsinΩ,cosΩ] 的运算就能够将四元数或向量 p 绕着轴 v 旋转 2Ω 度。

下面是这三个结论的证明过程：

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先可以证明第二条结论。对于任意非零实数 s ，我们有：

(sq)−1=s−1q−1

又由于交换率，可以得到：

(sq)p(sq)−1=sqpq−1s−1=qpq−1

因此第二条可证。

因此可以直接将四元数 q 来当作单位四元数来看，由基本运算规律可得，对于单位四元数 q ，有 q∗=q−1 ，因此 qpq−1=qpq∗ 。

接下来就可以证明结论一，由四元数的基本运算规律可知，对于一个四元数 q ，它的标量部分可以使用 2S(q)=q+q∗ 来获得。

那么可以进一步推论：

2S(qpq∗)=(qpq∗)+(qpq∗)∗=qpq∗+qp∗q∗

由乘法分配率得：

q(p+p∗)q∗=q(2S(p))q∗=2S(p)

这样就说明了四元数的标量不变，而由于上面我们已经把可以将四元数 q 当作单位四元数来看，因此 N(q)=N(q∗)=1 。由于四元数的模长相等，标量部分也相等，因此其向量部分的模也相等。

最后我们来证明结论三，下图中 N(v0)=N(v1)=1 ，我们令 q=v1v∗0=[v0×v1,v0⋅v1] ，而在图中可以很容易得出 v0⋅v1=cosΩ ：

令 v^=v0×v1∥v0×v1∥ ，换句话说 v^ 就是一个垂直 v0 与 v1 的单位向量，因此我们可以得出：

q=[v^sinΩ,cosΩ]

此时我们令 v2=qv0q∗ 并且将其进一步扩展为 v2v∗1 ，可得：

v2v∗1=qv0q∗v∗1

又由于 q=v1v∗0 ，我们有：

v2v∗1=qv0((v1v∗0)∗v∗1)=qv0(v0v∗1)v∗1=q

因此可以判定 v2v∗1 与 v1v∗0 有同样的结构，所以 v2 与 v1 、 v0 在同一平面，且 v2 与 v0 的角度为 2Ω 。

因此结论3得证。

<全文完>