数论 —— 逆元

【基本概念】

1.完全剩余系:模 m 的完全剩余系是 {0,1,2,...,n-1},记为:Zn,其中每个元素都代表与其同余的整数

2.简化剩余系:简化剩余系也称缩系,是模 m 的完全剩余系中与 m 互素的元素,记为:Zn*

3.同余等价类:将满足同余关系的所有整数称为同余等价类,Zn 中每个元素就是一个同余等价类

4.同余等价类的运算:在同余等价类中,由于每个元素都代表一个同余等价类,因此在 Zn 中的加减法、乘除法都是模运算

5.逆元:也称模乘法的逆,当 Zn 中两个元素 a、b 满足:ab=1 时,称 a、b 互为乘法的逆,记为:a=b^{-1},b=a^{-1},简单来说,当 a*b\equiv 1(mod\:m) 时,a、b 互为逆元

例如:在 Z15 中,7*13=1,因此 7、13 互为逆元,此时,3/7=3*13=9

5.逆元的应用:当题目要求对结果求 m 的模,且当过程需要计算 a/b 时,需要对 a/b 取模,即 (a/b)\: mod \:m ,有时 b 过于大,会出现爆精度的情况,所以需要变除法为乘法。

即:设 c 是 b 的逆元

则:b*c\equiv 1(mod \:m)

故:(a/b)\:\, mod \:\,m = (a/b)*1\:\,mod\:\,m = (a/b)*b*c \:\, mod \:\, m = (a*c)\:\,mod\,\: m

即:(a/b)\:\,mod\:\,m=(a\:\,mod\:\,m*c\:\,mod\:\,m)\:\,mod\:\,m

【实现】

1.费马小定理求逆元

1)费马小定理

若 a 为一整数,p 是一质数,且 GCD(a,p)=1 ,那么 a^{p-1} \equiv 1(mod\:\, p)

2)适用

题目要求模 p 为素数的情况。

3)方法

由 a^{p-1} \equiv 1(mod\:\, p) 可得 a*a^{p-2} \equiv 1(mod\:\, p),即得 a^{p-2} 是 a 的逆元。

4)实现

#define MOD 1000000007
LL quick_pow(LL a,LL b){
    LL res=1,base=a%MOD;
    while(b){
        if(b&1)
            res=(base*res)%MOD;
        base=(base*base)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL inv(LL a){
    return quick_pow(a,MOD-2);
}

2.扩展欧几里德算法求逆元

1)适用

题目要求模 m 为素数的情况。

2)方法

由逆元定义可知 ,求 a 模 m 的逆元 x ,即为求解同余方程 ax \equiv 1(mod \:\,n)

将方程转化为 ax-my=1,然后套用解同余方程的方法,用扩展欧几里得算法求得一组 (x_0,y_0) 和 GCD(a,m)

然后检查 GCD(a,m) 是否为 1 ,若不为 1 说明逆元不存在,若为 1 ,则调整 x_0 到 [0,m-1] 的范围中即可。

3)实现

LL Extended_GCD(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }

    LL gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    y-==x*(a/b);
    return gcd;
}
LL inv(LL a){
    LL x,y;
    Extended_GCD(a,MOD,x,y);
    x=(x%MOD+MOD)%MOD
    return x
}

3.线性筛逆元

1)适用

在模质数 p 下,求 1~n 所有逆元,用上面两种方法复杂度差不多都是 O(nlogn),通过递推关系可以线性求出所有逆元。

2)方法

已知,1的逆元一定是1,故有:1^{-1}\equiv 1(mod\:\,p) ①

t = p / i,k=p\:mod\:i ②

将 ② 代入 ① 有:t*i+ k \equiv 0 (mod\: p)

即:-t*i \equiv k (mod\: p)

两边同除 k*i,得:-t*k_{-1} \equiv i_{-1} (mod\: p)

代入 t、 k, 有:inv[i] = (p-p/i) * inv[p\:\, mod\:\,i] \:\, mod\:\, p

综上,易得:\left\{\begin{matrix}inv[1] = 1; \\ inv[i]=(p-p/i)*inv[p\:mod\:i]\:mod\:p \end{matrix}\right.

3)实现

LL inv[N];
void Inv(int n,int p){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

【说明】

通常情况下,遇到 (a/b)\: mod \:k 的问题时,一般通过费马小定理来解决,但是只有当 gcd(b, k) = 1 时,b 的逆元才存在。

对于 gcd(b, k) \neq 1  的情况,有一通用公式:d= a / b\: mod \:k = (a\: mod\: (k*b)) / b

其推导如下

对于公式:d= a / b\: mod \:k = (a\: mod\: (k*b)) / b ,其适用于所有的情况,无需区分互不互素,而费马小定理和扩展欧几里德算法求逆元具有局限性的,它们都会要求 b 与 k 互素,如果两者不互质,那就没有逆元。

当两者互质的时候,b 与 k 可能会很大,不适合套用一般公式,因此大部分时还是使用逆元处理。

【例题】

  • 乘法逆元(洛谷-P3811)(线性筛逆元):点击这里
  • 有理数取余(洛谷-P2613)(费马小定理求逆元+大数):点击这里

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