数论 —— 逆元

【基本概念】

1.完全剩余系：模 m 的完全剩余系是 {0,1,2,...,n-1}，记为：Zn，其中每个元素都代表与其同余的整数

2.简化剩余系：简化剩余系也称缩系，是模 m 的完全剩余系中与 m 互素的元素，记为：Zn*

3.同余等价类：将满足同余关系的所有整数称为同余等价类，Zn 中每个元素就是一个同余等价类

4.同余等价类的运算：在同余等价类中，由于每个元素都代表一个同余等价类，因此在 Zn 中的加减法、乘除法都是模运算

5.逆元：也称模乘法的逆，当 Zn 中两个元素 a、b 满足：ab=1 时，称 a、b 互为乘法的逆，记为：，简单来说，当  时，a、b 互为逆元

例如：在 Z15 中，7*13=1，因此 7、13 互为逆元，此时，3/7=3*13=9

5.逆元的应用：当题目要求对结果求 m 的模，且当过程需要计算  时，需要对  取模，即  ，有时 b 过于大，会出现爆精度的情况，所以需要变除法为乘法。

即：设 c 是 b 的逆元

则：

故：

即：

【实现】

1.费马小定理求逆元

1）费马小定理

若 a 为一整数，p 是一质数，且  ，那么

2）适用

题目要求模 p 为素数的情况。

3）方法

由  可得 ，即得  是 a 的逆元。

4）实现

#define MOD 1000000007
LL quick_pow(LL a,LL b){
    LL res=1,base=a%MOD;
    while(b){
        if(b&1)
            res=(base*res)%MOD;
        base=(base*base)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
LL inv(LL a){
    return quick_pow(a,MOD-2);
}

2.扩展欧几里德算法求逆元

1）适用

题目要求模 m 为素数的情况。

2）方法

由逆元定义可知 ，求 a 模 m 的逆元 x ，即为求解同余方程

将方程转化为 ，然后套用解同余方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组  和

然后检查  是否为 1 ，若不为 1 说明逆元不存在，若为 1 ，则调整  到  的范围中即可。

3）实现

LL Extended_GCD(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }

    LL gcd=Extended_GCD(b,a%b,y,x);
    y-==x*(a/b);
    return gcd;
}
LL inv(LL a){
    LL x,y;
    Extended_GCD(a,MOD,x,y);
    x=(x%MOD+MOD)%MOD
    return x
}

3.线性筛逆元

1）适用

在模质数 p 下，求 1~n 所有逆元，用上面两种方法复杂度差不多都是 O(nlogn)，通过递推关系可以线性求出所有逆元。

2）方法

已知，1的逆元一定是1，故有： ①

设  ②

将 ② 代入 ① 有：

即：

两边同除 ，得：

代入 t、 k， 有：

综上，易得：

3）实现

LL inv[N];
void Inv(int n,int p){
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
}

【说明】

通常情况下，遇到  的问题时，一般通过费马小定理来解决，但是只有当  时，b 的逆元才存在。

对于   的情况，有一通用公式：

其推导如下

对于公式： ，其适用于所有的情况，无需区分互不互素，而费马小定理和扩展欧几里德算法求逆元具有局限性的，它们都会要求 b 与 k 互素，如果两者不互质，那就没有逆元。

当两者互质的时候，b 与 k 可能会很大，不适合套用一般公式，因此大部分时还是使用逆元处理。

【例题】

• 乘法逆元（洛谷-P3811）(线性筛逆元)：点击这里
• 有理数取余（洛谷-P2613）(费马小定理求逆元+大数)：点击这里