凸优化学习笔记 9：广义凸函数

有时候函数 $f$ 为向量，此时怎么定义凸函数呢？根据广义不等式引入。

1. 广义单调函数

对于 $f:R^n\to R$，定义其单调性为存在正常锥 $K\subseteq R^n$，有

• K-nondecreasing $⟺\forall x{⪯}_{K}y,f(x)\le f(y)$
• K-nonincreasing $\iff $

实际上相当于在定义域中规定了一个序关系，但是注意这种序关系并不是完全的，也就是说有可能有 $x{⪯}_{K}y,y{⪯}_{K}x$ 都不成立，意味着有可能定义域中的两个元素之间是不可“比大小的”。

对于广义单调函数的判定有以下性质

$f$ K-nondecreasing $⟺\nabla f(x){⪰}_{K^{\ast }}0,\forall x\in \text{dom}f$

证明只需要将其转化为一维情形即可，可以用反证法。

2. 广义凸函数

对于 $f:R^n\to R^m$，凸函数定义为关于正常锥 $K\subseteq R^m$
$$f(\theta x+(1-\theta )y){⪯}_K\theta f(x)+(1-\theta )f(y)$$
例子

• $f:S_{+}^n\to S_{+}^n,f(X)=X^2$

广义凸函数有下面的性质

$f$ 为 K-convex $⟺{\omega }^{T}f(x)$ convex，对任意 $\omega {⪰}_{K^{\ast }}0$

Remarks：只需要考虑 $g(x)={\omega }^{T}f(x)$ 就转化为了普通凸函数，实际上相当于 $\omega \in K^{\ast }$ 确定了沿某个方向上的序关系。