凸优化学习笔记 11：对偶原理 & 拉格朗日函数

前面讲了凸优化问题的定义，以及一些常见的凸优化问题类型，这一章就要引入著名的拉格朗日函数和对偶问题了。通过对偶问题，我们可以将一些非凸问题转化为凸优化问题，还可以求出原问题的非平凡下界，这对复杂优化问题是很有用的。

1. 拉格朗日函数

考虑凸优化问题
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m\\ & h_i(x)=0,i=1,\dots ,p\end{array}$$
假设 $x\in R^n$，定义域为 $\mathcal{D}$，最优解为 $p^{\star }$。

我们定义**拉格朗日函数(Lagrangian)**为 $L:R^n\times R^m\times R^p\to R$，$\text{dom}L=\mathcal{D}\times R^m\times R^p$
$$L(x,\lambda ,\nu )=f_0(x)+{\lambda }^{T}f(x)+{\nu }^{T}h(x)$$

再取下确界得到拉格朗日对偶函数(Lagrange dual function) $g:R^m\times R^p\to R$
$$g(\lambda ,\nu )=\underset{x\in \mathcal{D}}{\inf }\left(f_0(x)+{\lambda }^{T}f(x)+{\nu }^{T}h(x)\right)$$

这个拉格朗日对偶函数可不得了啦！他有两个很重要的性质：

1. $g(\lambda ,\nu )$ 是凹函数（不论原问题是否为凸问题）
2. 如果 $\lambda ⪰0$，那么 $g(\lambda ,\nu )\le p^{\star }$（对任意 $\lambda ⪰0,\nu$ 都成立）

Remarks：上面两个性质为什么重要呢？首先由于 $g(\lambda ,\nu )\le p^{\star }$，这可以给出原问题最优解的一个不平凡下界，这意味着如果原问题很难求解的时候，我们可以转变思路，求解一个新的优化问题：
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& g(\lambda ,\nu )\\ \text{ subject to }& \lambda ⪰0\end{array}$$

另一方面，由于不论原函数是否为凸优化问题，新的问题都是凸的，因此可以方便求解。下面举几个例子。

例子 1：原问题为
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& x^{T}x\\ \text{ subject to }& Ax=b\end{array}$$

那么可以很容易得到拉格朗日函数为 $L(x,\nu )=x^{T}x+{\nu }^T(Ax-b)$，对偶函数为 $g(\nu )=-(1/4){\nu }^{T}A{A}^T\nu -b^T\nu$，也即

$p^{\star }\ge g(\nu )$。

例子 2：标准形式的线性规划(LP)
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& c^{T}x\\ \text{ subject to }& Ax=b,x⪰0\end{array}$$

按照定义容易得到对偶问题为
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& -b^T\nu \\ \text{ subject to }& A^T\nu +c⪰0\end{array}$$

例子 3：原问题为最小化范数
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& \Vert x\Vert \\ \text{ subject to }& Ax=b\end{array}$$

对偶函数为
$$g(\nu )=\underset{x}{\inf }(\Vert x\Vert +{\nu }^T(b-Ax))=\{\begin{array}{ll}{b}^T\nu & \Vert A^T\nu {\Vert }_{\ast }\le 1\\ -\infty & o.w.\end{array}$$

这个推导过程中用到了共轭函数的知识。实际上上面三个例子都是线性等式约束，这种情况下，我们应用定义推导过程中可以很容易联想到共轭函数。（实际上加上线性不等式约束也可以）

例子 4：(原问题非凸)考虑 Two-way partitioning (不知道怎么翻译了…)
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& x^{T}Wx\\ \text{ subject to }& x_i^2=1,i=1,...,n\end{array}$$

对偶函数为
$$\begin{array}{r}g(\nu )=\underset{x}{\inf }\left(x^T(W+\mathrm{diag}(\nu ))x\right)-1^T\nu =\{\begin{array}{ll}-1^T\nu & W+\mathrm{diag}(\nu )⪰0\\ -\infty & \text{ otherwise }\end{array}\end{array}$$

于是可以给出原问题最优解的下界为 $p^{\star }\ge -1^T\nu$ if $W+\mathrm{diag}(\nu )⪰0$。这个下界是不平凡的，比如可以取 $\nu =-{\lambda }_{\min }(W)1$，可以给出 $p^{\star }\ge n{\lambda }_{\min }(W)$。

2. 对偶问题

上面已经多次提到**对偶问题(Lagrange dual problem)**了
$$\begin{array}{rl}\text{ maximize }& g(\lambda ,\nu )\\ \text{ subject to }& \lambda ⪰0\end{array}$$

假如对偶问题的最优解为 $d^{\star }=\max g(\lambda ,\nu )$，那么我们有 $p^{\star }\ge d^{\star }$。

现在我们当然想知道什么情况下可以取等号，也即 $p^{\star }=d^{\star }$，此时我们只需要求解对偶问题就可以获得原问题的最优解了。在此之前，我们先引入两个概念：强对偶和弱对偶。

弱对偶(weak duality)：满足 $p^{\star }\ge d^{\star }$，原问题不论是否为凸，弱对偶总是成立；

强对偶(strong duality)：满足 $p^{\star }=d^{\star }$，强对偶并不总是成立，如果原问题为凸优化问题，一般情况下都成立。在凸优化问题中，保证强对偶成立的条件为被称为 constraint qualifications。

有很多种不同的 constraint qualifications，常用到的一种为 Slater’s constraint qualification(SCQ)，其表述为

SCQ：对于凸优化问题
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x)\le 0,i=1,\dots ,m\\ & Ax=b\end{array}$$

如果存在可行解 $x\in \text{int}\mathcal{D}$，使得
$$Ax=b,f_i(x)<0,,i=1,...,m$$

那么就能保证强对偶性。

Remarks：

• 由于存在线性等式约束，因此实际定义域可能不存在内点，可以将这一条件放松为相对内点 $x\in \text{relint}\mathcal{D}$；
• 如果不等式约束中存在线性不等式，那么他也不必严格小于0。也即如果 $f_i(x)=C^{T}x+d$，则只需要满足 $f_i(x)\le 0$ 即可。

下面再举几个例子，看一看他们的 SCQ 条件是什么。

例子 1：还是考虑线性规划(LP) 或者二次规划(QP)
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& c^{T}x(\text{ or }{x}^{T}Px)\\ \text{ subject to }& Ax⪯b\end{array}$$

那么根据 SCQ 可以得到，如果想得到强对偶性，应该有 $\exists x,\text{ s.t. }Ax⪯b$。

例子 2：(原问题非凸) Trust Region Methods
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& x^{T}Ax+2b^{T}x\\ \text{ subject to }& x^{T}x\le 1\end{array}$$

其中 $A⋡0$，因此原问题不是凸的。他的对偶函数就是
$$g(\lambda )=\underset{x}{\inf }\left(x^T\left(A+\lambda I\right)x+2b^{T}x-\lambda \right)=\{\begin{array}{ll}-b^T(A+\lambda I{)}^{†}b-\lambda & A+\lambda I⪰0,b\in \mathcal{R}(A+\lambda I)\\ -\infty & o.w.\end{array}$$

注意如果不满足 $A+\lambda I⪰0$ 或 $b\in \mathcal{R}(A+\lambda I)$，则 $g(\lambda )\to -\infty$。那么就可以得到对偶问题为
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& -b^T(A+\lambda I{)}^{†}b-\lambda \\ \text{subject to}& A+\lambda I⪰0\\ & b\in \mathcal{R}(A+\lambda I)\end{array}$$

也可以等价转换为 SDP
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& -t-\lambda \\ \text{subject to}& \left[\begin{array}{cc}A+\lambda I& b\\ b^T& t\end{array}\right]⪰0\end{array}$$

Remarks：这里用到了舒尔补(Schur complement)的知识。考虑矩阵
$$X=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ B^T& C\end{array}\right]$$

其中 $\det A\ne 0,S=C-B^T{A}^{-1}B$。那么有以下及条性质：

• $X\succ 0⟺A\succ 0,S\succ 0$
• 若 $A\succ 0$，则 $X⪰0⟺S⪰0$
• $X⪰0⟺A⪰0,(I-A{A}^{†})B=0,S=C-B^T{A}^{†}B⪰0$

关于第 3 条中的第二个要求 $(I-A{A}^{†})B=0$，对 $A$ 进行奇异值分解，有 $A=U\Sigma V$，那么我们对任意 $v$，有 $(I-A{A}^{†})Bv=(I-U{U}^T)Bv=0$，而 $U{U}^T$ 实际上就是向 $\mathcal{R}(A)$ 的投影矩阵，因此就要求 $Bv\in \mathcal{R}(A)$。

3. SCQ 几何解释

前面给出的是 SCQ 的代数描述，那么如何证明呢？另外如何从几何角度直观理解呢？

首先我们可以考虑最简单的优化问题
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_1(x)\end{array}$$

定义集合 $\mathcal{G}=\{(f_1(x),f_0(x))|x\in \mathcal{D}\}$，那么对偶函数为
$$g(\lambda )=\underset{(u,t)\in \mathcal{G}}{\inf }(t+\lambda u)$$

如果我们画出下面这张图，阴影部分就是可行区域 $\mathcal{G}$，而 $(\lambda ,1{)}^T$ 则正好定义了一个支撑超平面，$g(\lambda )$ 就等于 $t$ 轴的交点。通过取不同的 $\lambda$ 我们就可以得到不同的支撑超平面，也可以得到不同的 $g(\lambda )$，最终会有某一个 ${\lambda }^{\star }$ 对应的是 $d^{\star }=g({\lambda }^{\star })$。还需要注意这里的支撑超平面永远不可能是竖直的。

$(\lambda ,1{)}^T$ 正好定义了一个支撑超平面	每个 $\lambda$ 对应一个支撑超平面

那么 $p^{\star }$ 体现在哪个点呢？由于对于原优化问题，我们有 $f_1(x)\le 0$，因此体现在这个图里面就是 $u\le 0$，也就是上面左图当中的红色区域，而 $p^{\star }=\min f_0(x)=\min t$。

理解了这张图，我们现在开始证明两件事：

1. 证明弱对偶性，也即 $p^{\star }\ge d^{\star }$；
2. 证明强对偶性条件 SCQ。

注：在此之前，我们不妨加入等式约束，也即 $g(\lambda ,\mu )={\inf }_{(u,v,t)\in \mathcal{G}}(t+{\lambda }^{T}u+{\mu }^{T}v)$。

弱对偶性的证明：我们有 $\lambda \ge 0$
$$\begin{array}{rl}{p}^{\star }& =\inf \{t|(u,v,t)\in \mathcal{G},u\le 0,v=0\}\\ & \ge \inf \{t+{\lambda }^{T}u+{\mu }^{T}v|(u,v,t)\in \mathcal{G},u\le 0,v=0\}\\ & \ge \inf \{t+{\lambda }^{T}u+{\mu }^{T}v|(u,v,t)\in \mathcal{G}\}\\ & =g(\lambda ,\mu )\end{array}$$

强对偶性条件 SCQ 的证明：由 $g(\lambda ,\mu )={\inf }_{(u,v,t)\in \mathcal{G}}(t+{\lambda }^{T}u+{\mu }^{T}v)$ 可以得到
$$(\lambda ,\mu ,1{)}^T(u,v,t)\ge g(\lambda ,\mu ),\forall (u,v,t)\in \mathcal{G}$$

这实际上定义了 $\mathcal{G}$ 的一个超平面。特别的有 $(0,0,p^{\star })\in \text{bd}\mathcal{G}$，因此也有
$$(\lambda ,\mu ,1{)}^T(0,0,p^{\star })\ge g(\lambda ,\mu )$$

这个不等式可以自然地导出弱对偶性，当“=”成立时则可以导出强对偶性。那么什么时候取等号呢？点 $(0,0,p^{\star })$ 为支撑点的时候！也就是说

如果在边界点 $(0,0,p^{\star })$ 处存在一个非竖直的支撑超平面，那么我们就可以找到 $\lambda ,\mu$ 使得上面的等号成立，也就是得到了强对偶性。

注意前面的分析中我们并没有提到 SCQ，那么 SCQ 是如何保证强对偶性的呢？注意 SCQ 要求存在 $x\in \mathcal{D}$ 使得 $f(x)<0$，这也就意味着 $\mathcal{G}$ 在 $u<0$ 半平面上有点，因此如果支撑超平面存在的话，就一定不是垂直的。

但这又引出另一个问题，那就是支撑超平面一定存在吗？答案是一定存在，这是由原问题的凸性质决定的。为了证明这一点，我们可以引入一个类似于 epigraph 的概念：
$$\begin{array}{rl}\mathcal{A}& =\mathcal{G}+(R_{+}^m\times \{0\}\times R_{+})\\ & =\left\{(u,v,t)|\exists x\in \mathcal{D},s.t.f(x)\le u,h(x)=v,f_0(x)\le t\right\}\end{array}$$

由于原优化问题为凸的，可以应用定义证明集合 $\mathcal{A}$ 也是凸的，同时 $(0,0,p^{\star })\in \text{bd}\mathcal{A}$，那么集合 $\mathcal{A}$ 在 $(0,0,p^{\star })$ 点就一定存在一个支撑超平面。又由 SCQ 可知这个支撑超平面一定不是竖直的，因此就可以得到强对偶性了。

注：$(\lambda ,\mu ,1{)}^T(u,v,t)\ge g(\lambda ,\mu ),\forall (u,v,t)\in \mathcal{A}$ 也成立。

4. 广义不等式约束与SDP

前面讨论拉格朗日函数的时候都只考虑了标量函数，如果约束函数为广义不等式，也即
$$\begin{array}{rl}\text{ minimize }& f_0(x)\\ \text{ subject to }& f_i(x){⪯}_{K_i}0,i=1,\dots ,m\\ & h_i(x)=0,i=1,\dots ,p\end{array}$$

那么他的拉格朗日函数就是
$$L\left(x,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m,\nu \right)=f_0(x)+\sum _{i=1}^m{\lambda }_i^T{f}_i(x)+\sum _{i=1}^p{\nu }_i{h}_i(x)$$

对偶函数就是
$$g\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,\nu \right)=\underset{x\in \mathcal{D}}{\inf }L\left(x,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_m,\nu \right)$$

其同样满足 $p^{\star }\ge g\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,\nu \right)$。对偶问题为
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& g\left({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m,\nu \right)\\ \text{subject to}& {\lambda }_i{⪰}_{K_i^{\ast }}0,i=1,...,m\end{array}$$

强对偶性以及 Slater’s Condition 是类似的。

对于 SDP 问题
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& c^{T}x\\ \text{subject to}& x_1{F}_1+\cdots +x_n{F}_n⪯G\end{array}$$

拉格朗日函数就是
$$L(x,Z)=c^{T}x+\mathrm{tr}\left(Z\left(x_1{F}_1+\cdots +x_n{F}_n-G\right)\right)$$

对偶函数为
$$g(Z)=\underset{x}{\inf }L(x,Z)=\{\begin{array}{ll}-\mathrm{tr}(GZ)& \mathrm{tr}\left(F_{i}Z\right)+c_i=0,i=1,\dots ,n\\ -\infty & \text{ otherwise }\end{array}$$

对偶问题就是
$$\begin{array}{rl}\text{maximize}& -\mathrm{tr}(GZ)\\ \text{subject to}& Z⪰0,\mathrm{tr}\left(F_{i}Z\right)+c_i=0,i=1,\dots ,n\end{array}$$

强对偶性以及 Slater’s Condition 是类似的。

5. 对偶问题的强对偶性与可行性

注意我们说强对偶性需要严格满足不等式约束(也即最优解需要满足 $h(x^{\star })<0$ 而不能是 $h(x^{\star })\le 0$)，但如果存在线性不等式约束，则可以取到等号(也即 $A{x}^{\star }+b\le 0$)。这就会出现下面的现象：

1. 对于 LP 问题，由于约束是线性的，因此强对偶性只要求有可行解，而不要求 strictly feasible；
2. 对于其他问题，若存在非线性约束，比如 SOCP/SDP 问题，如果想要满足强对偶性，就需要满足 strictly feasible，这就会出现两种情况：1）问题本身的可行域不可能满足 strictly feasible，那么就达不到强对偶性，于是 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \ned at position 8: p^\star\̲n̲e̲d̲^\star；2）问题可行域满足 strictly feasible，但是由于最优解达不到(比如 $\min 1/x$)，那么此时原问题和对偶问题仍满足强队偶性，但是原问题最优解达不到，而对偶问题则可以达到。

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前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
凸优化学习笔记 3：广义不等式
凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
凸优化学习笔记 6：共轭函数
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
凸优化学习笔记 9：广义凸函数
凸优化学习笔记 10：凸优化问题
凸优化学习笔记 11：对偶原理