二阶常系数非齐次线性微分方程的通解

*本文略去了很多证明，只记录结论
*文中的微分方程均指代二阶常系数非线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的形式为：$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$$

微分方程的通解 = 对应的二阶常系数齐次线性微分方程通解 + 自身的一个特解
简单记为：通解 = 齐次通解 + 特解。

二阶常系数齐次线性微分方程通解的解法：二阶常系数齐次线性微分方程的通解

下面只需要解出微分方程的特解即可

对应微分方程：$$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$$右式$f(x)$有两种形式：
①$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$型
此时微分方程对应的特解为：$$y^{\ast }=x^k{R}_m(x)e^{\lambda x}$$

其中：

• $R_m(x)$是于$p_m(x)$同次($m$次)的多项式(例如：$b_1{x}^2+b_{1}x+b_2$)
• $k$按$\lambda$不是特征方程的根、是单根、是重根依次取0、1、2

②$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$型
此时微分方程对应的特解为：$$y^{\ast }=x^k{e}^{\lambda x}[R_m^{(1)}\cos \omega x+R_m^{(2)}\sin \omega x]$$

其中：

• $R_m^{(1)}和R_m^{(2)}$是同型$m$次多项式，$m=\max (l,n)$(即m = l、n中的最大值；所谓同型即例如:$R_m^{(1)}=ax+b,R_m^{(2)}=cx+d$)
• $k$按 $\lambda +\omega i$ 不是特征方程的根、是单根依次取0、1

得到这个不完全的特解后根据需要求出其不同阶的导数然后带入微分方程，即可解出特解中的系数，到这里，就得到了微分方程的完整特解，于齐次通解相加即的微分方程的通解。

例：
求微分方程 $2y^{\prime \prime }+y^{\prime }-y=2e^x$ 的通解

解：
微分方程对应的齐次微分方程的特征方程为 $2r^2+r-1=0$
可得通解：$$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{\frac{1}{2}x}$$

微分方程的右式$f(x)=2e^x$满足$f(x)=e^{\lambda x}{P}_m(x)$型，且$\lambda =1,m=0$，
所以，设特解为：$$y^{\ast }=a{e}^x$$

所以$y^{\ast }=a{e}^x$、$y^{{\ast }^{\prime }}=a{e}^x$、$y^{{\ast }^{\prime \prime }}=a{e}^x$
带入微分方程左式得：$2a{e}^x+a{e}^x-a{e}^x=2e^x$
得：$a=1$
所以特解为：$$y^{\ast }=e^x$$
微分方程的通解为：$$y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{\frac{1}{2}x}+e^x$$