[ZJOI2008] 骑士

题目

原题链接

解说

开局就觉得是并查集,想了半天没思路,在洛谷上一看这是树形DP?!这怎么树形DP啊?

我直接引用得了,反正思路看的大佬的大佬还比自己讲的好……

一开始没有看出来就是没有上司的舞会那道题啊。用自己的方法做的。 这道题是一个基环树森林，所以拆成每一个基环树来做。

对于任意一棵基环树，它的长相是这样的。

先找到环。

然后对于环上的每一个节点为根，求出在其子树内的最大攻击力。 设 \(f[x][0/1]\) 表示在以节点 \(x\) 为根的子树内，不选或者选点 xx 的最大攻击力。那么明显方程为

\(f[x][1]=(\sum f[y][0](y∈son[x]))+a[x]\)

\(f[x][0]=\sum max(f[y][0],f[y][1])(y\in son[x]))\)

其中 \(a[x]\) 表示 \(x\) 的攻击力。

那么接下来就要处理环上的点了。

由于环上的点 \(1\) 和点 \(cnt\) 是不可以同时选择的（ \(cnt\) 表示换上的点的个数），所以这次就多设一维， \(g[i][0/1][0/1]\) 表示环上的第 \(i\) 个点 不选/选 ,且第一个点 不选/选 的最大攻击力。

那么对于第1个点不选的情况，要初始化好 \(g[2]\) ，其方程为

\(g[i][0][0]=max(g[i-1][1][0],g[i-1][0][0])+f[Q[i]][0]\)

\(g[i][1][0]=g[i-1][0][0]+f[Q[i]][1]\)

其中 \(Q[i]\) 表示环上的第 ii 个点。

对于选择第一个点的情况，第二个点一定不能选。所以初始化好 \(g[2],g[3]\) 。（ \(g[2]\) 不可以不初始化，虽然在转移过程中起不到作用，但是如果这个环上只有两个点的话，不初始化 \(g[2]\) 就没办法输出 \(g[2]\) 的答案），其方程为

\(g[i][0][1]=max(g[i-1][1][1],g[i-1][0][1])+f[Q[i]][0]\)

\(g[i][1][1]=g[i-1][0][1]+f[Q[i]][1]\)

由于最终答案中 \(1\) 和 \(cnt\) 不可以同时选择，所以答案就是 \(max(g[cnt][1][0],g[cnt][0][0],g[cnt][0][1])\)
时间复杂度 \(O(n)\) ，跑的比较慢，需要进行优化。

引自https://www.luogu.com.cn/blog/stoorz/solution-p2607

代码

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000010;
int n,x,tot,cnt,head[maxn],a[maxn],in[maxn],Q[maxn];
ll f[maxn][2],g[maxn][2][2],ans;
bool vis[maxn],ok;
struct edge{
    int next,to;
}e[maxn*2];
ll maxx(ll x1,ll x2,ll x3){
    return max(x1,max(x2,x3));
}
int read(){
    int d=0;
    char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') 
        d=(d<<3)+(d<<1)+ch-48,ch=getchar();
    return d;
}
void add(int from,int to){
    e[++tot].to=to;
    e[tot].next=head[from];
    head[from]=tot;
}
void topsort(){ //拓扑排序找环
    queue q;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (in[i]==1) q.push(i);
    while (q.size()){
        int u=q.front(),v;
        q.pop();
        for (int i=head[u];~i;i=e[i].next){
            v=e[i].to;
            if (in[v]>1){
                in[v]--;
                if (in[v]==1) q.push(v);
            }
        }
    }
}

void find(int x){ //寻找环上的点
    vis[x]=1; 
    Q[++cnt]=x;
    for (int i=head[x];~i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if (!vis[y]&&in[y]>=2) find(y);
    }
}

void dp(int x){ //求非环上的点的最大攻击力
    vis[x]=1;
    f[x][1]=(ll)a[x];
    for (int i=head[x];~i;i=e[i].next){
        int y=e[i].to;
        if (!vis[y]&&in[y]<=1){
            dp(y);
            f[x][1]+=f[y][0];
            f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
            ok=1;
        }
    }
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read(),x=read();
        add(x,i);
        add(i,x);
        in[i]++;//求点的度数 
        in[x]++;
    } 
    topsort();
    for (int k=1;k<=n;k++)
        if (in[k]>=2&&!vis[k]){
            memset(Q,0,sizeof(Q));
            memset(g,0,sizeof(g));
            cnt=0;
            find(k);
            for (int i=1;i<=cnt;i++)
                dp(Q[i]);
            g[2][1][0]=f[Q[1]][0]+f[Q[2]][1];
            g[2][0][0]=f[Q[1]][0]+f[Q[2]][0]; 
            for (int i=3;i<=cnt;i++){
                g[i][0][0]=max(g[i-1][1][0],g[i-1][0][0])+f[Q[i]][0];
                g[i][1][0]=g[i-1][0][0]+f[Q[i]][1];
            }
            g[2][0][1]=f[Q[1]][1]+f[Q[2]][0];
            g[3][0][1]=f[Q[1]][1]+f[Q[2]][0]+f[Q[3]][0];
            g[3][1][1]=f[Q[1]][1]+f[Q[2]][0]+f[Q[3]][1];
            for (int i=4;i<=cnt;i++){
                g[i][0][1]=max(g[i-1][1][1],g[i-1][0][1])+f[Q[i]][0];
                g[i][1][1]=g[i-1][0][1]+f[Q[i]][1];
            }
            ans+=maxx(g[cnt][1][0],g[cnt][0][0],g[cnt][0][1]);
        }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

幸甚至哉，歌以咏志。