凸优化学习笔记 14：SDP Representablity

这一节简单介绍一个 SDP Representablity（SDP-Rep），这个概念的提出主要是为了便于判断某个问题是否可以转化为 SDP 优化问题。

定义：集合 $X\subseteq R^n$ 是 SDP-Rep 的，如果他可以表示为
$$\begin{gathered} X=\{x|\text{there exist }u\in R^k\text{ such that for some } \\ {A}_i,B_j,C\in R^{m\times m}:\sum _i{x}_i{A}_i+\sum _j{u}_j{B}_j+C⪰0\} \end{gathered}$$
注：它实际上就是下面集合的一个子空间投影
$$\{(x,u)|\sum _i{x}_i{A}_i+\sum _j{u}_j{B}_j+C⪰0\}$$
这个定义实际上说明了集合 $X$ 可以用一个 LMI 表示，因而如果 $X$ 为优化问题的定义域，则该定义域可以用一个 SDP 约束条件来表示。例如：如果 $X$ 为 SDP-Rep，则 ${\min }_{x\in X}{c}^{T}x$ 是一个 SDP 问题。

定义：如果如果函数 $f(x)$ 的 epigraph 是 SDP-Rep 的，那么函数 $f(x)$ 就是 SDP-Rep
$$\text{epi}(f)=\{(x_0,x)|f(x)\le x_0\}$$
该定义表明，如果 $f(x)$ 为 SDP-Rep，则优化问题 ${\min }_{x}f(x)$ 是一个 SDP 问题。

对 SDP-Rep 集合进行一些变换之后仍然是 SDP-Rep 的：如果 $X,Y$ 都是 SDP-Rep 的

• Minkowski sum $X+Y$
• intersection $X\cap Y$
• Affine pre-image $A^{-1}(X)$ if $A$ is affine
• Affine map $A(X)$ if $A$ is affine
• Cartesian product $X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\}$

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