凸优化学习笔记 14:SDP Representablity

这一节简单介绍一个 SDP Representablity(SDP-Rep),这个概念的提出主要是为了便于判断某个问题是否可以转化为 SDP 优化问题。

定义集合 X ⊆ R n X\subseteq R^n XRnSDP-Rep 的,如果他可以表示为
X = { x ∣ there exist  u ∈ R k  such that for some  A i , B j , C ∈ R m × m : ∑ i x i A i + ∑ j u j B j + C ⪰ 0 } X=\{x| \text{there exist }u\in R^k \text{ such that for some } \\A_i,B_j,C\in R^{m\times m}:\sum_i x_iA_i+\sum_j u_jB_j +C \succeq0 \} X={xthere exist uRk such that for some Ai,Bj,CRm×m:ixiAi+jujBj+C0}
注:它实际上就是下面集合的一个子空间投影
{ ( x , u ) ∣ ∑ i x i A i + ∑ j u j B j + C ⪰ 0 } \{(x,u)|\sum_i x_iA_i+\sum_j u_jB_j +C \succeq0\} {(x,u)ixiAi+jujBj+C0}
这个定义实际上说明了集合 X X X 可以用一个 LMI 表示,因而如果 X X X 为优化问题的定义域,则该定义域可以用一个 SDP 约束条件来表示。例如:如果 X X X 为 SDP-Rep,则 min ⁡ x ∈ X c T x \min_{x\in X}c^Tx minxXcTx 是一个 SDP 问题。

定义:如果如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 的 epigraph 是 SDP-Rep 的,那么函数 f ( x ) f(x) f(x) 就是 SDP-Rep
epi ( f ) = { ( x 0 , x ) ∣ f ( x ) ≤ x 0 } \text{epi}(f)=\{(x_0,x)|f(x)\le x_0\} epi(f)={(x0,x)f(x)x0}
该定义表明,如果 f ( x ) f(x) f(x) 为 SDP-Rep,则优化问题 min ⁡ x f ( x ) \min_x f(x) minxf(x) 是一个 SDP 问题。

对 SDP-Rep 集合进行一些变换之后仍然是 SDP-Rep 的:如果 X , Y X,Y X,Y 都是 SDP-Rep 的

  • Minkowski sum X + Y X+Y X+Y
  • intersection X ∩ Y X\cap Y XY
  • Affine pre-image A − 1 ( X ) A^{-1}(X) A1(X) if A A A is affine
  • Affine map A ( X ) A(X) A(X) if A A A is affine
  • Cartesian product X × Y = { ( x , y ) ∣ x ∈ X , y ∈ Y } X\times Y=\{(x,y)|x\in X,y\in Y\} X×Y={(x,y)xX,yY}

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