凸优化学习笔记17：次梯度下降法

对于光滑函数，我们可以用梯度下降法，并且证明了取不同的步长，可以得到次线性收敛，如果加上强凸性质，还可以得到线性收敛速度。那如果现在对于不可导的函数，我们就只能沿着次梯度下降，同样会面临步长的选择、方向的选择、收敛性分析等问题。

1. 收敛性分析

次梯度下降的一般形式为
$$x^{(k)}=x^{(k-1)}-t_k{g}^{(k-1)},k=1,2,\dots g\in \partial f(x^{(k-1)})$$
一般有 3 种步长的选择方式：

1. fix step： $t_k$ 为常数
2. fix length：$t_k{\Vert g^{(k-1)}\Vert }_2={\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert }_2$ 为常数
3. diminishing：$t_k\to 0,{\sum }_{k=1}^{\infty }{t}_k=\infty$

要证明这几种方法的收敛性，需要先引入 Lipschitz continuous 假设，即
$$|f(x)-f(y)|\le G\Vert x-y{\Vert }_2\forall x,y$$
这等价于 $\Vert g{\Vert }_2\le G$ 对任意 $g\in \partial f(x)$ 都成立。

在分析收敛性之前，我们需要引入一个非常重要的式子⬇️！！！在后面的分析中会一直用到：
$$\begin{array}{rl}{\Vert x^{+}-x^{\star }\Vert }_2^2& ={\Vert x-tg-x^{\star }\Vert }_2^2\\ & ={\Vert x-x^{\star }\Vert }_2^2-2t{g}^T\left(x-x^{\star }\right)+t^2\Vert g{\Vert }_2^2\\ & \le {\Vert x-x^{\star }\Vert }_2^2-2t\left(f(x)-f^{\star }\right)+t^2\Vert g{\Vert }_2^2\end{array}$$
那么如果定义 $f_{\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}}^{(k)}={\min }_{0\le i<k}f\left(x^{(i)}\right)$，就有
$$\begin{array}{rl}2\left(\sum _{i=1}^k{t}_i\right)\left(f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\right)& \le {\Vert x^{(0)}-x^{\star }\Vert }_2^2-{\Vert x^{(k)}-x^{\star }\Vert }_2^2+\sum _{i=1}^k{t}_i^2{\Vert g^{(i-1)}\Vert }_2^2\\ & \le {\Vert x^{(0)}-x^{\star }\Vert }_2^2+\sum _{i=1}^k{t}_i^2{\Vert g^{(i-1)}\Vert }_2^2\end{array}$$
根据上面的式子，就可以得到对于

Fixed step size：$t_i=t$
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{{\Vert x^{(0)}-x^{\star }\Vert }_2^2}{2kt}+\frac{G^{2}t}{2}$$
Fixed step length：$t_i=s/{\Vert g^{(i-1)}\Vert }_2$
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{G{\Vert x^{(0)}-x^{\star }\Vert }_2^2}{2ks}+\frac{Gs}{2}$$
这两个式子中的第一项都随着 $k$ 增大而趋于 0，但第二项却没有办法消掉，也就是与最优解的误差不会趋于 0。并且他们有一个微妙的不同点在于，fixed step size 情况下 $G^{2}t/2\sim O(G^2),Gs/2\sim O(G)$，$G$ 一般是较大的。

Diminishing step size：$t_k\to 0,{\sum }_{k=1}^{\infty }{t}_k=\infty$
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{{\Vert x^{(0)}-x^{\star }\Vert }_2^2+G^2{\sum }_{i=1}^k{t}_i^2}{2{\sum }_{i=1}^k{t}_i}$$
可以证明，$\left({\sum }_{i=1}^k{t}_i^2\right)/\left({\sum }_{i=1}^k{t}_i\right)\to 0$，因此 $f_{\text{best }}^{(k)}$ 会收敛于 $f^{\star }$。

下面看几幅图片，对于优化问题 $\min \Vert Ax-b{\Vert }_1$

Fixed step length	Diminishing step size

前面考虑了固定步长的情况，假设现在我们固定总的迭代次数为 $k$，可不可以优化步长 $s$ 的大小来尽可能使 $f_{\text{best}}^{(k)}$ 接近 $f^{\star }$ 呢？这实际上可以表示为优化问题
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{R^2+{\sum }_{i=1}^k{s}_i^2}{2{\sum }_{i=1}^k{s}_i/G}⟹\underset{s}{\min }\frac{R^2}{2ks/G}+\frac{s}{2/G}$$
其中 $R={\Vert x^{(0)}-x^{\star }\Vert }_2$，那么最优步长为 $s=R/\sqrt{k}$，此时
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{GR}{\sqrt{k}}$$
因此收敛速度为 $O(1/\sqrt{k})$，对比之前光滑函数的梯度下降，收敛速度为 $O(1/k)$。

我们对前面的收敛速度并不满意，如果有更多的信息，比如已知最优解 $f^{\star }$ 的大小，能不能改进收敛速度呢？根据前面的式子，有
$${\Vert x^{+}-x^{\star }\Vert }_2^2\le {\Vert x-x^{\star }\Vert }_2^2-2t_i\left(f(x)-f^{\star }\right)+t_i^2\Vert g{\Vert }_2^2$$
这实际上是关于 $t_i$ 的一个二次函数，因此可以取 $t_i=\frac{f\left(x^{(i-1)}\right)-f^{\star }}{{\Vert g^{(i-1)}\Vert }_2^2}$，就可以得到
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{GR}{\sqrt{k}}$$
可见还是没有改进收敛速度。

如果引入强凸性质呢？如果假设满足 $\mu$ 强凸，则 $f^{\star }\ge f^k+g^{kT}(x^k-x^{\star })+\mu /2\Vert x^k-x^{\star }{\Vert }_2^2$，可以取 $t_k=\frac{2}{\mu (k+1)}$，那么就可以得到
$$f_{\text{best }}^{(k)}-f^{\star }\le \frac{2G^2}{\mu (k+1)}$$

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前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
凸优化学习笔记 3：广义不等式
凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
凸优化学习笔记 6：共轭函数
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
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凸优化学习笔记 14：SDP Representablity
凸优化学习笔记 15：梯度方法
凸优化学习笔记 16：次梯度
凸优化学习笔记 17：次梯度下降法