Miller-Rabin素数检测算法

今天看了一下Miller-Rabin素数检测的算法，总结了一下，希望这篇博客对你们有帮助。

 

先说几个理论基础：

1. 费马小定理：假如p是质数，a是整数，且a、p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1，即：a^(p-1)≡1(mod p).

但是反过来却不一定成立，就是说，如果a、p互质，且a^(p-1)≡1(mod p)，不能推出p是质数，比如Carmichael数。

2. 二次探测定理：如果p是一个素数，0

3. 模运算的规则：(a*b)%n=(a%n * b%n)%n

4. 快速积取模、快速幂取模：可以看看我之前写的一篇博客简单快速的算法

 

然后是算法的过程：

对于要判断的数n

1.先判断是不是2，是的话就返回true。

2.判断是不是小于2的，或合数，是的话就返回false。

3.令n-1=u*2^t，求出u，t，其中u是奇数。

4.随机取一个a,且1

/*根据费马小定理，如果a^(n-1)≡1(mod p)那么n就极有可能是素数，如果等式不成立，那肯定不是素数了

因为n-1=u*2^t，所以a^(n-1)=a^(u*2^t)=(a^u)^(2^t)。*/

5.所以我们令x=(a^u)%n

6.然后是t次循环，每次循环都让y=(x*x)%n，x=y,这样t次循环之后x=a^(u*2^t)=a^(n-1)了

7.因为循环的时候y=(x*x)%n，且x肯定是小于n的，正好可以用二次探测定理，

如果(x^2)%n==1，也就是y等于1的时候，假如n是素数，那么x==1||x==n-1，如果x!=1&&x!=n-1，那么n肯定不是素数了，返回false。

8.运行到这里的时候x=a^(n-1)，根据费马小定理，x!=1的话，肯定不是素数了，返回false

9.因为Miller-Rabin得到的结果的正确率为 75%，所以要多次循环步骤4~8来提高正确率

10.循环多次之后还没返回，那么n肯定是素数了，返回true

 

下面是模板：

# include 
# include 
  typedef long long ll;
  ll ModMul(ll a,ll b,ll n)//快速积取模 a*b%n
  {
      ll ans=0;
      while(b)
      {
          if(b&1)
            ans=(ans+a)%n;
          a=(a+a)%n;
          b>>=1;
      }
      return ans;
  }
  ll ModExp(ll a,ll b,ll n)//快速幂取模 a^b%n
  {
      ll ans=1;
      while(b)
      {
          if(b&1)
            ans=ModMul(ans,a,n);
          a=ModMul(a,a,n);
          b>>=1;
      }
      return ans;
  }
  bool miller_rabin(ll n)//Miller-Rabin素数检测算法
  {
      ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
      if(n==2)
        return true;
      if(n<2||!(n&1))
        return false;
      for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1);//n-1=u*2^t
      for(i=0;i

HDU 2138 是一道模板题，你们可以练习一下