逻辑学学习.10 --- 谓词逻辑（二）：一般命题的符号化

一。直言命题的符号化

• 简单符号化

  三段论逻辑的命题只涉及直言命题，直言命题有四种：
  全称肯定 A： 所有S是P
  全称否定 E： 所有S不是P
  特称肯定 I： 有S是P
  特称否定 O：有S不是P

  我们用个体变项x表示直言命题中的主项“S”，用P(…)表示直言命题中的谓词”…是P“。P（）是一个元变项，表示任何一个一目谓词。

  如果主项x表示最大的类，即宇宙间一切事物的集合，那么符号化一般形式是：

  直言命题	分类	最大类符号化	解释
  全称肯定 A	所有S是P	∀x P（x）	“对所有x而言，x具有P属性”
  全称否定 E	所有S不是P	∀x ¬P（x）	“对所有x而言，x具有非P属性”
  特称肯定 I	有S是P	∃x P（x）	“至少存在一个x使得 ，x具有P属性”
  特称否定 O	有S不是P	∃x ¬P（x）	“至少存在一个x使得 ，x具有非P属性”

• 直言命题的一般符号化

  我们知道，一般直言命题的主项并不是“一切事物”，“个体”等表示宇宙最大类的域范围，一般直言命题的主项只是某个特定的域范围。

  • 全称直言命题，例如：

    1）所有的鱼都是用鳃呼吸的。

    主项“鱼”就不是最大类的项。假如符号化成： ∀x P（x），那么解释就是：“对所有x而 言，x是用鳃呼吸的”，这显然不符合原意。它的正确的解释应该是：

    ∀x（如果x是鱼，那么x是用鳃呼吸的）
    表述为：“对所有的事物而言，如果事物是鱼，那么它是用鳃呼吸的”
    符号化成：
    ∀x（Y（x）→ S（x））
    Y（x）代表谓词“x是鱼"，S（x）代表谓词“x是用鳃呼吸的”

    相应的E命题：

    1‘）任何鱼都不是用鳃呼吸的。

    表述为：“对所有的事物而言，如果事物是鱼，那么它不是用鳃呼吸的”
    符号化成：
    ∀x（Y（x）→ ¬ S（x））
    Y（x）代表谓词“x是鱼"，S（x）代表谓词“x是用鳃呼吸的”

  • 对于存在直言命题，例如

    2）有些金属是液体

    重新表述成：“至少有一事物使得，它是金属并且它是液体”
    ∃x （K（x）∧ L（x））
    K（x）代表谓词“x是金属"，L（x）代表谓词“x是液体 ”

    相应的O命题：

    2’）有些金属不是液体

    重新表述成：“至少有一事物使得，它是金属并且它是非液体”
    ∃x （K（x）∧ ¬ L（x））
    K（x）代表谓词“x是金属"，L（x）代表谓词“x是液体 ”

  四种直言命题的符号化，其一般形式是：

  直言命题	分类	最大类符号化	解释
  全称肯定 A	所有S是P	∀x （S（）→ P（x））	“对所有x而言，如果x是S，那么它具有P属性”
  全称否定 E	所有S不是P	∀x （S（）→ ¬P（x））	“对所有x而言，如果x是S，那么它具有非P属性”
  特称肯定 I	有S是P	∃x （S（）∧ P（x））	“至少存在一个x使得 ，x是S并且具有P属性”
  特称否定 O	有S不是P	∃x （S（）∧ ¬P（x））	“至少存在一个x使得 ，x是S并且具有非P属性”

二。论域。

逻辑学中的论域相当于数学中的定义域或值域。
例如，对于全称直言命题，A命题

一般符号化：
∀x （S（）→ P（x））
假如说把论域限制为“S”的集合，记作：UD：{S}，相当于数学中的 x ∈ {S}， 那么符号化可以简化成：

UD：{S}，∀x P（x）
解释“对所有的x而言，x属于集合S ，x具有P属性”

用数学公式表达是：

x ∈ {S}，∀x P（x）
解释 “x属于S集合 ，所有的x具有P属性”

四种直言命题的符号化，其一般形式是：

直言命题	分类	一般符号化	论域符号化	数学符号化	解释
全称肯定 A	所有S是P	∀x （S（）→ P（x））	UD：{S}，∀x P（x）	x ∈ {S}，∀x P（x）	“对所有x而言，如果x是S，那么它具有P属性”
全称否定 E	所有S不是P	∀x （S（）→ ¬P（x））	UD：{S}，∀x ¬P（x）	x ∈ {S}，∀x ¬P（x）	“对所有x而言，如果x是S，那么它具有非P属性”
特称肯定 I	有S是P	∃x （S（）∧ P（x））	UD：{S}，∃x P（x）	x ∈ {S}，∃x P（x）	“至少存在一个x使得 ，x是S并且具有P属性”
特称否定 O	有S不是P	∃x （S（）∧ ¬P（x））	UD：{S}，∃x ¬P（x）	x ∈ {S}，∃x ¬P（x）	“至少存在一个x使得 ，x是S并且具有非P属性”

二。一般命题的符号化

全称命题总和蕴含式相联系，存在命题总和合取式相联系。

全称命题的一般结构：
∀x （S（x）→ （…））

存在命题的一般结构：
∃x （S（x）∧ （…））

• 例1） 所有狗身上有毛并且嗅觉灵敏

  分析：主逻辑词是全称量词“所有”，相当于A命题“所有S是P”，
  一般结构：∀x （S（x）→ （…））

  谓词：
  G（x）表示：x是狗；
  M（x）表示：x身上长毛；
  X（x）表示：x嗅觉灵敏
  符号化成

  ∀x （G（x）→ （M（x）∧ X（x）））

• 例2） 有些鸟不下蛋或者不会飞

  分析：主逻辑词是存在量词“有的”，相当于 I命题“有S是P”，
  一般结构：∃x （S（x）∧ （…））

  谓词：
  N（x）表示：x是鸟；
  D（x）表示：x下蛋；
  F（x）表示：x会飞
  符号化成

  ∃x （N（x）→ （¬ D（x）∨ ¬ F（x）））

• 例3） 一个有成就的科学家是一个光荣的人。

  分析：命题中虽然没有出现全称量词，但不难看出，它实际上是一个全称命题，
  解释为” 所有有成就的科学家都是光荣的人“ ，相当于 A命题“所有S是P”，
  一般结构：∀x （S（x）→ （…））

  谓词：
  A（x）表示：x是有成就的科学家；
  B（x）表示：x是光荣的人；
  符号化成

  ∀x （A（x）→ B（x））

  需要注意的是：
  ”x是有成就的科学家“是一个复合谓词，它等于 “x是有成就的”+”x是科学家“。
  ”x是光荣的人“也是一个复合谓词，它等于 “x是光荣的”+”x是人“。

  谓词：
  C（x）表示：x是有成就的"；科学家；
  K（x）表示：x是科学家；
  G（x）表示：x是光荣的；
  R（x）表示：x是人；
  符号化成

  ∀x （C（x）∧ K（x）→ G（x）∧ R（x））

• 例4） 一头牛顶伤张三

  分析：主逻辑词是隐含的存在量词“有一头牛”，相当于 I命题“有S是P”，
  一般结构：∃x （S（x）∧ （…））

  谓词：
  N（x）表示：x是牛；
  S（x，a）表示：x顶伤a；
  b表示个体常项： 张三
  符号化成

  ∃x （N（x）∧ S（x，b） ）

• 例5） 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》，那么，他是聪明的。

  分析：表面看，主逻辑词好像是”如果，那么“，再一看，后件中有一个代词”他“，说明前件和后件的逻辑主项相同，前件的”任何小学生“的辖域延展到了后件，所以这是一个普遍命题。主逻辑词”任何“=”所有“。相当于 A 命题“所有S是P”。
  一般结构： ∀x （S（x）→ （…））

  谓词或常项：
  S（x）表示 ：x是小学生；
  D（x，a）表示：x读懂a；
  h 表示 ：黑格尔的《逻辑学》
  C（x）表示 ：x是聪明的；

  符号化成

  ∀x （S（x）→ （D（x，h）→ C（x）））

• 例6） 如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》，那么，黑格尔的《逻辑学》是容易的。

  分析：主逻辑词是”如果，那么“，前件和后件逻辑主项不一样，确认这是一个复合命题，是蕴含命题。 一般结构： S（x）→ P（x） 。
  这里，前件的”如果任何小学生“ 解释为“如果有小学生”，所以前件是一个存在命题。
  存在命题一般结构：∃x （S（x）∧ （…））

  谓词或常项：
  S（x）表示 ： x是小学生；
  D（x，a）表示： x读懂a；
  h 表示个体常项： 黑格尔的《逻辑学》
  R（a）表示 ： a是容易的；
  符号化为：

  ∃x （S（x）∧ D（x，h））→ R（h）

• 例7） 如果黑格尔的《逻辑学》是容易的，那么，任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》。

  分析：主逻辑词是”如果，那么“，前件和后件逻辑主项不一样，确认这是一个复合命题，是蕴含命题。 一般结构： S（x）→ P（x） 。
  这里，后件的 ”任何小学生“ 解释为“所有小学生”，所以后件是一个全称命题。
  全称命题一般结构：∀x （S（x）→ （…））

  谓词或常项：
  S（x）表示 ： x是小学生；
  D（x，a）表示： x读懂a；
  h 表示个体常项： 黑格尔的《逻辑学》
  R（a）表示 ： a是容易的；

  符号化为：

  R（h）→ ∀x （S（x）→ D（x，h））

• 例8） 如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》，那么，黑格尔的《逻辑学》是容易的。

  分析：本例与前面 例6）相似，只是复合命题前件有一点点不同，
  例6）为“如果任何小学生读懂黑格尔的《逻辑学》”，
  本例为“如果所有小学生读懂黑格尔的《逻辑学》”。
  例6 的“任何”被当做存在量词看待，等于“至少有一个”，
  而本例的“所有”无疑是全称量词。

  符号化为：

  ∀x （S（x）∧ D（x，h））→ R（h）

  例9） 任何读懂黑格尔的《逻辑学》的小学生都是聪明的。

  分析： 这里的“任何”当做“所有”解释。所以本例是一个全称命题。
  全称命题的符号化结构为：∀x （S（x）→ （…））

  符号化为：

  ∀x （S（x）∧ D（x，h）→ C（x））

  例10） 只有人是有理性的。

  分析：“只有，才“ 是一个必要条件命题，必要条件要从后到前，倒过来解释为充分条件。充分条件才是蕴含式。解释为：”对任何一个事物，如果它是有理性的，那么它是人“。主逻辑词为全称量词”所有“。
  全称命题的符号化结构为：∀x （S（x）→ （…））

  谓词和常项：
  L（x）表示 ： x是有理性的 ；
  R（x）表示 ： x是人 ；

符号化为：

∀x （L（x）→ R（x））
等值于： ∀x （¬ R（x）→ ¬ L（x））

例11） 聂卫平只同高明的棋手下棋。

分析：“只同高明的棋手下棋” ，出现”只…“，就是一个必要条件命题，要把联结词“只”提到主项外面来。解析为”只有高明的棋手，聂卫平才同他下棋“。再倒过来解析成充分条件，”所有聂卫平同他下棋的棋手，都是高明的棋手“。这是一个全称命题，
再解释为：”对所有棋手来说，如果聂卫平和他下棋，那么他是一个高明的棋手“。
再解释为：”对所有x来说，如果他是棋手，如果聂卫平和他下棋，那么他是一个高明的棋手“。
全称命题的符号化结构为：∀x （S（x）→ （…））

谓词和常项：
n 表示个体常项 ：聂卫平
S（x） 表示 ：是棋手
Q（n，x） 表示：聂卫平和x下棋
G（x）表示 ： x是高吗的 ；
符号化成：

∀x （S（x）→ （Q（n，x）→ G（x）））

例12） 老虎和狮子都是猛兽。

分析：可以解释为 ”老虎是猛兽并且狮子是猛兽“。这是两个全称命题的合取。主联结词是合取词 ”∧“。
全称命题的符号结构为：∀x （S（x）→ （…））

谓词和常项：
H（x） 表示 ：x是老虎
S（y） 表示 ：y是狮子
M（x） 表示 ：x是猛兽
符号化成：

∀x （H（x）→ M（x））∧ ∀y （S（y）→ M（y））

参考资料

《自然演绎逻辑导论》 陈晓平