图像处理+边缘检测算法

一、边缘检测算子类别 

     常见边缘检测算子：Roberts 、Sobel 、Prewitt、Laplacian、Log/Marr、Canny、Kirsch、Nevitia

二、一阶微分算子：Roberts 、Sobel 、Prewitt

        Robert算子是第一个边缘检测算子，提出者Lawrence Roberts in 1963。

        Sobel边缘算子，当年作者并没有公开发表过论文，仅仅是在一次博士生课题讨论会(1968)上提出("A 3x3 Isotropic Gradient Operator for Image Processing")，后在1973年出版的一本专著（"Pattern Classification and Scene Analysis"）的脚注里作为注释出现和公开的。提出者Irwin Sobel。

        Prewitt算子来自J.M.S. Prewitt "Object Enhancement and Extraction" in "Picture processing and Psychopictorics", Academic Press,1970。

        我们看这三种边缘检测算子模板及写成差分的形式

 Roberts算子

Sobel算子

Prewitt算子

图 4 一阶微分算子

       如何计算边缘幅值与方向？以Sobel算子为例。3*3 Sobel两个方向的算子在图像上滑动，模板与其覆盖的图像3*3区域9个像素进行卷积，求和后得到此方向的边缘检测幅值。

f(x,y)为图像，Gx和Gy分别是水平和竖直方向算子的卷积结果，G则是最终得到的边缘幅值，θ值则是边缘方向。当然G的计算有时简化为

  

或者

 

求幅值时是有多种选择的，一般根据具体应用选择用水平还是竖直或是两个方向同时检测。

        另外，需要说明的是，Sobel算子还有一种变种，是各向同性Sobel算子，其模板为

图 5 各向同性Sobel算子

Sobel各向同性算子的权值比普通Sobel算子的权值更准确。为什么？模板的权值是离中心位置越远则权值（看绝对值）影响越小，如上图，把模板看成是9个小正方形，小正方形边长为1，则虚线三角形的斜边长为，下直角边长为1，则如果（0,0）位置权值绝对值大小为1，则按照距离关系，位置（1,0）处的权值绝对值大小应该为才是准确的。

三、 二阶微分算子：Laplacian、Log/Marr

        拉普拉斯算子来自拉普拉斯变换，而Log算子又称Marr算子，由David Courtnay Marr和Ellen Hildreth（1980）共同提出，计算神经学创始人Marr在1980年正式发表论文时，因换白血病早逝，后面设立Marr奖以此纪念其贡献，现在每两年的ICCV（与ECCV，CVPR并称计算机视觉三大顶级会议）会评出一个Marr奖。这两种算子模板如下：

Laplacian算子（两种模板）

Log算子

图 6 二阶微分算子

拉普拉斯算子数学公式是

写成差分形式为

        Log边缘检测则是先进行高斯滤波再进行拉普拉斯算子检测，然后找过零点来确定边缘位置，很多时候我们只是知道Log 5*5模板如上图所示，但是具体是怎么得到的？下面进行推导。

二维高斯公式是

按拉普拉斯算子公式求x，y方向的二阶偏导后为

这里x，y不能看成模板位置，应看成是模板其他位置到中心位置的距离。那么写成

这里x0，y0就是模板中心位置，x，y是模板其他位置，对于5*5模板，则x0=2，y0 = 2，那对于模板中（0,0）位置的权值，即把x= 0，y= 0，x0= 2，y0 = 2带入上式，另= 1，得到约等于0.0175，这样得到

通过取整变符号，且模板总和为0，得到图6所示的模板。

        另外，这里模板大小是如何取的？通常高斯分布中，在（-3，3）的范围内就覆盖了绝大部分区域，所以模板大小一般取dim = 1 + 6（在SIFT特征中，其中的高斯模糊也是这样取），dim如果为小数，则取不小于dim的最小整数，当然实际使用时没有这么严格，如上面我们取=1时，模板大小取5*5。那同一个尺寸的模板中的权值调整就是的变化得到的，变化到一定程度，模板尺寸大小改变（这个是个人理解，欢迎拍砖）。

四、非微分边缘检测算子：Canny

       Canny边缘检测大家应该很熟悉，这里列出步骤，并给出一个详细介绍的链接Canny算子。

    1.      彩色图像转换为灰度图像
    2.      对图像进行高斯模糊
    3.      计算图像梯度，根据梯度计算图像边缘幅值与角度（这里其实用到了微分边缘检测算子来计算梯度幅值方向）
    4.      非最大信号压制处理（边缘细化）
    5.      双阈值边缘连接处理

    6.      二值化图像输出结果

五、方向算子Kirsch（8个3*3模板），Nevitia （12个5*5模板）

        这两个算子是利用多个方向的子模板进行分别计算，最后取幅值最大的那个为最终边缘幅值，方向即最大幅值对应的那个方向。

六、各边缘检测算子对比

参考文献：

1、http://blog.csdn.net/xiaojiegege123456/article/details/7714863

2、http://blog.csdn.net/yanmy2012/article/details/8110316

3、http://blog.csdn.net/langb2014/article/details/45667921

4、https://blog.csdn.net/tigerda/article/details/61192943