扩展欧几里德算法 Extend_Euclid

扩展欧几里德算法(extend_Euclid)

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我们现在面对的是一个形如

ax+by=c

的方程，对于这样的方程该怎么求解呢？
对于

ax+by=gcd(a,b)

这样的方程的求解就可以使用扩展欧几里德算法。
很显然我们可以得出

ax+by=gcd(b,a Mod b)

这样的话我们就可以将x与y带入到方程中，根据方程的函数性与函数的方程性得出

by+aModb*x=gcd(b,aModb)

的解，然后因为

aModb=a-a/b*b

带入可得

b(y-a/b)+ax=gcd(b,aModb)

经过不断迭代，即可得出一组特解。
代码如下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}

然后我们就可以得出通解

x=x0+kb
k∈Z
y=y0-ka

但是仅仅得出这一组解显然是不够滴。
那么如何扩展到所有的同余方程呢？
定义 d=gcd(a,b)

那么如果d不整除c,则方程无解。
定义 A=a/d,B=b/d,C=c/d。

那么原方程就可以等价为

Ax+By=C

我们只需要求出一组Ax+By=1的解，然后把x0与y0扩大C倍就可以了
显然我们有gcd(A,B)=1
用扩展欧几里德算法求出x0,y0，就可以得出答案了。

x=x0*C+kB
k∈Z
y=y0*C-kA

代码

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {
    if(!b) {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    return d;
}
ll calc(ll a,ll b,ll c) {
    ll d=gcd(a,b);
    if(c%d)return -1;
    ll A=a/d,B=b/d,C=c/d;
    ll x,y;
    exgcd(A,B,x,y);
    return (x*C%B+B)%B;
}