自然数幂和(递推式k^2方法)

求

∑ni=1ik，给定k<=2000与n<=1018 。

设 f(k)=∑ni=1ik
大致思路是用 ∑ni=1(i+1)k 与其用二项式展开化简后的式子，两边同时减去f(k)。类似等比数列的方法。

∑ni=1(i+1)k−f(k)=(n+1)k−1
同时
∑ni=1(i+1)k−f(k)=∑k−1j=0Cjk∗f(j)

联立二式 (n+1)k−1=∑k−1j=0Cjk∗f(j) ，将f(k-1)单独提出，发现等式另一侧只需要用到1..k-2的f.(这一步比较坑，用的是f(k)化简，求的是(f(k-1).)

f(k)=(n+1)k+1−1−∑k−1i=0Cik+1∗f(i)k+1 .
然后我们就可以用 k2 的方法去解决这个问题了。当然组合数需要预处理。