P2257 YY的GCD--莫比乌斯反演入门题+除法分块+线性筛+前缀和

题目描述

神犇YY虐完数论后给傻×kAc出了一题

给定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

kAc这种傻×必然不会了，于是向你来请教……

多组输入

输入输出格式

输入格式：

 

第一行一个整数T 表述数据组数

接下来T行，每行两个正整数，表示N, M

 

输出格式：

 

T行，每行一个整数表示第i组数据的结果

 

输入输出样例

输入样例#1： 

2
10 10
100 100

输出样例#1：

30
2791

说明

T = 10000

N, M <= 10000000

 

 

 

前置技能：

①线性筛莫比乌斯函数    

求出f，再求f的前缀和即可,或者直接枚举质数除第二种代码

②除法分块

③莫比乌斯反演及此题公式推导过程，看这个链接

 

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10000000+5;
int T,N,M;
//ll ans;
int mu[maxn],f[maxn],sum[maxn];
int prim[maxn],vis[maxn];

void init()
{
	mu[1]=1;//!!
	int cnt=0;
	for(int i=2;i<=maxn;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prim[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
			
		}
		for(int j=1;(j<=cnt)&&i*prim[j]<=maxn;j++)
		{
			vis[i*prim[j]]=1;
			if(i%prim[j]==0)
			{
				break;
			}
			else
			{
				mu[i*prim[j]]=-mu[i];
			}
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=maxn;i++)// 方便找出合数的mu 的值 
	{
		for(int j=1;(j<=cnt)&&(i*prim[j]<=maxn);j++)
		{
			f[i*prim[j]]+=mu[i]*1;//素数mu为1 
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=maxn;i++)sum[i]=sum[i-1]+f[i];//前缀和 
	
}

ll work(int N,int M)
{
	ll ans=0;
	if(N>M)swap(N,M);
	for(int l=1,r=0;l<=min(N,M);l=r+1)
	{
		    r=min(N/(N/l),M/(M/l));
			ans+=(ll)(sum[r]-sum[l-1])*(N/l)*(M/l);
		
	}
	return ans ;
}



int main()
{
  cin>>T;
  init();
  while(T--)
  {
  	//ans=0;
  	scanf("%d %d",&N,&M);
  	printf("%lld\n",work(N,M));
  	
  }
}

 

BZOJ 2818

求1<=x，y<=N且gcd(x, y)为质数的(x, y)有多少对

同理，但是测评机太垃圾了，而且只有一组询问，就只初始化1-N而不初始化为1-maxn

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=10000000+5;
int T,N,M;
//ll ans;
int mu[maxn],f[maxn],sum[maxn];
int prim[maxn],vis[maxn];

inline int read()
{
	int x=0;bool f=0;char c=getchar();
	for (;c<'0'||c>'9';c=getchar()) f=c=='-'?1:0;
	for (;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return f?-x:x;
}

void init()
{
	mu[1]=1;//!!
	int cnt=0;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!vis[i])
		{
			prim[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
			
		}
		for(int j=1;(j<=cnt)&&i*prim[j]<=N;j++)
		{
			vis[i*prim[j]]=1;
			if(i%prim[j]==0)
			{
				break;
			}
			else
			{
				mu[i*prim[j]]=-mu[i];
			}
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)// 上面不方便找出合数的mu 的值 
	{
		for(int j=1;(j<=cnt)&&(i*prim[j]<=N);j++)
		{
			f[i*prim[j]]+=mu[i]*1;//素数永远为1 
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=N;i++)sum[i]=sum[i-1]+f[i];//前缀和 

}

ll work(int n)
{
	ll ans=0;

	for(int l=1,r=0;l<=n;l=r+1)
	{
		    r=(n/(n/l));
			ans+=(ll)(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(n/l);
		
	}

	return ans ;
}



int main()
{
 
  
  	//scanf("%d",&N);
     N=read();
     init();
  	printf("%lld\n",work(N));

}