【BZOJ2671】Calc

题面

BZOJ
给出N，统计满足下面条件的数对(a,b)的个数：
1. 1≤a<b≤N 1 ≤ a < b ≤ N
2. a+b a + b 整除 a∗b a ∗ b
我竟然粘了题面！！！

题解

还是今天菊开讲的。
设出 d=gcd(a,b) d = g c d ( a , b )
那么，设 a=xd,b=yd,gcd(x,y)=1 a = x d , b = y d , g c d ( x , y ) = 1
(x+y)d|xyd2,x+y|xyd ( x + y ) d | x y d 2 , x + y | x y d
根据辗转相减的原理
可以得到 gcd(x+y,x)=gcd(x+y,y)=gcd(x,y)=1 g c d ( x + y , x ) = g c d ( x + y , y ) = g c d ( x , y ) = 1 ，所以 x+y|d x + y | d 。
设 d=k(x+y) d = k ( x + y ) ，因为 a<b a < b ，所以 x<y x < y ，因为 d=k(x+y)≤n d = k ( x + y ) ≤ n
而 b=yd=yk(x+y)≤n b = y d = y k ( x + y ) ≤ n
所以确定了 x,y x , y 之后，有 ny(x+y) n y ( x + y ) 个 d d
根据上面的式子，还可以知道 y<n‾√ y < n
所以，我们要求的就是

∑x=1n√∑y=x+1n√[gcd(x,y)=1]ny(x+y) ∑ x = 1 n ∑ y = x + 1 n [ g c d ( x , y ) = 1 ] n y ( x + y )

这样直接算的复杂度是 O(nlogn) O ( n l o g n )
发现 gcd g c d 的形式非常可以莫比乌斯反演
先把 x,y x , y 反过来

∑y=1n√∑x=1y−1[gcd(x,y)=1]ny(x+y) ∑ y = 1 n ∑ x = 1 y − 1 [ g c d ( x , y ) = 1 ] n y ( x + y )

直接莫比乌斯反演化简

∑d=1n√μ(d)∑y=1n√∑x=1y−1nyd2(x+y) ∑ d = 1 n μ ( d ) ∑ y = 1 n ∑ x = 1 y − 1 n y d 2 ( x + y )

#include
#include
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 111111
int n,m;ll ans;
bool zs[MAX];
int pri[MAX],mu[MAX],tot;
ll Calc(int n,int m)
{
    ll ret=0;
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        int t=n/i;
        for(int j=i+1,k;j<(i<<1)&&j<=t;j=k+1)
            k=min((i<<1)-1,t/(t/j)),ret+=1ll*(k-j+1)*(t/j);
    }
    return ret;
}
int main()
{
    cin>>n;m=sqrt(n);mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;++i)
    {
        if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;i*pri[j]<=m;++j)
        {
            zs[i*pri[j]]=true;
            if(i%pri[j])mu[i*pri[j]]=-mu[i];else break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;++i)if(mu[i]!=0)ans+=mu[i]*Calc(n/i/i,m/i);
    cout<return 0;
}