锥，凸锥，二阶锥，二阶锥规划

优化理论稍微深入些，就会涉及到锥这个概念，甚至还有专门的锥优化这个研究领域。我一直很奇怪锥到底是什么，准备查阅相关资料，将自己的理解写到博客里面。

1. 锥（cone）

• 对于一个向量空间 $V$ 与它的一个子集 $C$，如果子集 $C$ 中的任意一点 $x$ 与 任意正数 $a$， 其乘积 $ax$ 仍然属于子集 $C$， 则称 $C$ 为一个锥。

若向量空间为3维，满足定义的图像确实像一个锥，我猜这应该是它叫锥的原因。

根据定义，一个锥总是无界的。

2. 凸锥（convex cone）

• 若一个锥 $C$ 中任意两点 $x$ 与 $y$，以及任意两个正数 $a$ 与 $b$， 都有 $ax+by$ 属于 $C$， 则该锥为凸锥。

显然上图也是一个凸锥。根据定义，凸锥的范围比凸集更大（凸锥必是凸集，凸集不一定是凸锥），因为它没有要求 $a+b=1$，凸锥首先是一个凸集。
是否存在一个不是凸锥的锥？典型的例子：
$$y=|x|$$
一个点 （-2， 2）， 另一个点 （1，1）， 它们的和 （-1, 3）不在图形里。它的图形：

但是 $y\ge |x|$ 就是一个凸锥

3. 标准锥（norm cone）

一个 n 维标准锥是满足下列条件的集合：
$$C=\left\{(x,t)\mid \Vert x\Vert \le t,x\in {\mathbb{R}}^{n-1},t\in \mathbb{R}\right\}$$
标准锥是一个凸锥。（标准锥里面的变量不仅包括 $x$，还包括 $t$.）

4. 二阶锥（second order cone）

二阶锥规划是一种非常特殊的非线性优化，有非常高效的求解算法，非常有必要了解一下什么是二阶锥。所谓二阶是指锥里面用到的是二范数，下面的表达式表示一个二阶锥。
$$\Vert Ax+b{\Vert }_2\le c^{T}x+d$$

二阶锥相当于对标准锥 $C=\{(x,t)\mid \Vert x{\Vert }_2\le t,t\ge 0\}$ 做了一个仿射变换：
$$\Vert Ax+b{\Vert }_2\le c^{T}x+d⟺(Ax+b,c^{T}x+d)\in C$$
根据仿射变换的性质，变换后凹凸性不变，因此二阶锥仍然是一个凸锥。
注：对向量 $x$ 仿射变换(相当于将一个图形平移，或变大变小，或旋转，或倒影）：$y=Ax+b$，其中 $Ax$ 表示对 $x$ 变大或变小或旋转倒影，而 $+b$ 表示平移。

5. 二阶锥规划（second order cone programming，SOCP）

很多问题都可以转化为二阶锥规划来求解，而二阶锥规划能够使用内点法很快求解。

5.1 二次凸规划

二次规划可以转化为二阶锥规划。一个二次凸规划表达式：
$$X^{T}AX+q^{T}x+c\le 0$$
转化成下面的二阶锥：
$${\Vert A^{1/2}x+\frac{1}{2}{A}^{-1/2}q\Vert }^2\le -\frac{1}{4}{q}^T{A}^{-}q-c$$
就能使用二阶锥规划求解了。