双曲线方程y=1/x的对称轴变为直角坐标系的坐标轴是什么样的方程？

双曲线（hyperbola)是一种二次曲线（类似的二次曲线有圆，椭圆和抛物线），如果它的横向对称轴(traverse axis)为直角坐标系的坐标轴，那么它的标准形式有两种，第一种横向对称轴为直角坐标系的横轴（同时共扼对称轴（conjugate axis）为坐标系的纵轴），标准形式如下：

$$\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b}=1$$

如果横向对称轴为直角坐标系的纵轴，标准形式为：

$$\frac{y^{2}}{b} - \frac{x^{2}}{a}=1$$

而本文将讨论的形式更为简洁的$$xy=1$$方程仍然表示一条双曲线，只是外观上不太像标准形式。其实这条双曲线是由以上某条标准形式的双曲线绕原点O旋转而来的。那么问题来了，这条旋转之前的标准形式的双曲线方程是长得什么样子？

根据对称性，这应该是一条正则双曲线（regular hyperbola, 即a=b或两条渐进线相互垂直），横向对称轴（直线y=x）与它的交点分别是（1，1）和（-1，-1），而交点和原点的距离是，因此a=b=2。当然这是一种简单的解析计算法，但本文要讨论的是用线性变换来找到原方程。有两种不同的方法找到旋转之前的标准方程：1）用旋转矩阵计算原方程 2）用计算二次型矩阵的相似矩阵找出原方程。

1）用旋转矩阵计算原方程

旋转矩阵是一个正交矩阵（orthogonal matrix）。正交矩阵表示一个特殊的线性变换，它不改变向量的长度，只改变向量的方向。除了旋转之外，类似的正交变换还有镜像变换(reflection)。例如，某向量绕原点沿逆时针方向O旋转某个θ角度的旋转矩阵是：

$$
\left(\begin{array}{cc}{\cos [\theta]} & {-\sin [\theta]} \\ {\sin [\theta]} & {\cos [\theta]}\end{array}\right)
$$

由于方程xy=1的表示的图像绕原点O逆时针旋转45度表示的双曲线横向对称轴为直角坐标系的纵轴，形式应该如下：
$$\frac{y^{2}}{b} - \frac{x^{2}}{a}=1$$

接下来计算a和b的值。

设原坐标为(x,y)，变换后的坐标为(u,v)，则：

$$
\left(\begin{array}{cc}u \\ v \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}{\cos [\frac{\pi}{4}]} & {-\sin [\frac{\pi}{4}]} \\ {\sin [\frac{\pi}{4}]} & {\cos [\frac{\pi}{4}]}\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right)
$$

上面旋转矩阵为
$$
\left(\begin{array}{cc}{\cos [\frac{\pi}{4}]} & {-\sin [\frac{\pi}{4}]} \\ {\sin [\frac{\pi}{4}]} & {\cos [\frac{\pi}{4}]}\end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)
$$

nxn阶正交矩阵的行和列都是单位正交向量，它的逆即是它的转置，因此可以写成：

$$
\left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}u \\ v \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} v+u \\ v-u \end{array}\right)
$$

由于要满足xy=1，因而，
$$
\frac{v^2-u^2}{2}=1
$$

这就是旋转之前横向对称轴为直角坐标系的纵轴的双曲线方程！

还有一种情形：如果方程xy=1的表示的图像绕O顺时针旋转45度表示的双曲线横向对称轴为直角坐标系的横轴，形式应该如下：

$$\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b}=1$$

类似地，设原坐标为(x,y)，变换后的坐标为(u,v)，则：

$$
\left(\begin{array}{cc}u \\ v \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}{\cos [(-\frac{\pi}{4})]} & {-\sin [(-\frac{\pi}{4})]} \\ {\sin [(-\frac{\pi}{4})]} & {\cos [(-\frac{\pi}{4})]}\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right)
$$

nxn阶正交矩阵的行和列都是单位正交向量，它的逆即是它的转置，因此可以写成：

$$
\left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}u \\ v \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} u-v \\ u+v \end{array}\right)
$$

由于满足xy=1，因而，
$$
\frac{u^2-v^2}{2}=1
$$

这就是旋转之前横向对称轴为直角坐标系的横轴的双曲线方程！

2）用计算二次型矩阵的相似矩阵找出原方程

设f(x,y)=xy是一个二元二次函数，对应的二次型矩阵A为：

$$
\left(\begin{array}{cc}0 & \frac1 2 \\ \frac1 2 & 0 \end{array}\right)
$$
二次型矩阵A是nxn阶实对称矩阵。nxn阶实对称矩阵具有比较好的性质：它的所有特征值都是实数，而且不同的特征值对应的特征向量是相互正交的，进而一定存在n个相互正交的单位向量构成一个正交矩阵P，将矩阵A对角化，使得:
$$
D=P^{-1}AP
$$
其中D是对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值（即D和A相似）。
因此f(x,y)=xy可以转化为如下形式：

$$
f(u,v)=\lambda_1u^2+\lambda_2v^2
$$

其中λ1和λ2是A的特征值。

上面的矩阵A的有两个不同的特征值1/2和-1/2, 对应的单位化特征向量为：
$$
\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right)     \left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right)
$$
 
则对应的相似变换矩阵为：

 $$
P=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right)
D=\left(\begin{array}{cc} \frac1 2 & 0 \\ 0 & -\frac1 2 \end{array}\right)     \tag 1
$$

或者：
$$
P=\left(\begin{array}{cc}-\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right)
D=\left(\begin{array}{cc} -\frac1 2 & 0 \\ 0 & \frac1 2 \end{array}\right)  \tag 2
$$
如果设向量,

$$
X=\left(\begin{array}{cc} x \\ y \end{array}\right) ,
Y=\left(\begin{array}{cc} u \\ v \end{array}\right)=P^TX
$$
则有，
$$
f(x,y)=X^TAX=Y^TDY=\lambda_1u^2+\lambda_2v^2
$$

 

对于（1）式，有

$$
\left(\begin{array}{cc}u \\ v \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right),
f(x,y) = xy = \frac 1 2 u^2-\frac 1 2 v^2 = 1
$$
这实际上相当于将双曲线xy=1顺时针方向旋转45度，横向对称轴为直角坐标系的横轴的双曲线方程！

 

 

所以对于（2）式，有
$$
\left(\begin{array}{cc}u \\ v \end{array}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(\begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \left(\begin{array}{cc}x \\ y \end{array}\right),
f(x,y) = xy = -\frac 1 2 u^2+\frac 1 2 v^2 = 1
$$
这实际上相当于将双曲线xy=1沿过原点的一条直线（该直线和x坐标轴的倾斜角为67.5度）的镜像变换(reflection)，将双曲线横向对称轴变换为直角坐标系的纵轴。这是一个十分有趣的现象，因为镜像变换(reflection)也是正交变换，不会改变向量的长度，只要画一下图就可以看出，确实沿和x坐标轴的倾斜角为67.5度的直线镜像后，双曲线xy=1的横向对称轴由直线y=x变换为直角坐标系的纵轴!

总结：

由以上的讨论可知，使用不同的数学方法可以得到相同的结果，真是殊途同归，更有价值的是偶尔还能有新的发现（比如以上在二次型矩阵相似变换时得到镜像变换就是一个意想不到的结果）。