【bzoj4162】shlw loves matrix II 【特征多项式】【拉格朗日插值】

题意：给你一个$n\times n$的矩阵，求它的$k$次方模$1000000007$。$n\le 50,k\le 2^{10000}$。
首先，特征多项式的定义是什么？
我们定义矩阵$A$的特征多项式$f(x)=det(A-xI)$，其中$I$表示单位矩阵，$det$表示行列式求值。
怎么求出这个特征多项式呢？
我们把$x=0..n$全带进去，得到$n+1$个点值，然后再插个值就好了。这一步的时间复杂度是$n^4$。
求出这个特征多项式有什么用？
根据某某Cayley-Hamilton定理好像不难发现 $f(A)=0$。
因此我们可以让$A^k$减去若干个$f(A)$。
$g(x)=x^k$，$g(x)$可以减去若干个$f(x)$，因此$g(x)=(gmodf)(x)$。
所以我们要做的是多项式快速幂+多项式取模。按照快速幂的过程，求出$x^k$的值，在算的过程中对刚刚求出的$f$取模。这一步的时间复杂度为$O(n^{2}lo{g}_{2}k)$。
总时间复杂度$O(n^4+n^{2}lo{g}_{2}k)$。
为了方便写代码，我手写了本蒟蒻毕生最详细的矩阵类和多项式类。
代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=55,mod=1000000007;
int n,len,x[N],y[N];
char k[10005];
int fastpow(int a,int x){
	int res=1;
	while(x){
		if(x&1){
			res=1LL*res*a%mod;
		}
		x>>=1;
		a=1LL*a*a%mod;
	}
	return res;
}
int getinv(int x){
	if(x==1){
		return 1;
	}else{
		return fastpow(x,mod-2);
	}
}
struct matrix{
	int a[N][N];
	matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
	matrix operator + (const matrix &b) const{
		matrix c;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				c.a[i][j]=(a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
			}
		}
		return c;
	}
	matrix operator * (const matrix &b) const{
		matrix c;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				for(int k=1;k<=n;k++){
					c.a[i][k]=(c.a[i][k]+1LL*a[i][j]*b.a[j][k])%mod;
				}
			}
		}
		return c;
	}
	matrix operator * (const int &x) const{
		matrix c=*this;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				c.a[i][j]=1LL*c.a[i][j]*x%mod;
			}
		}
		return c;
	}
}a,b;
int det(matrix x){
	int res=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!x.a[i][i]){
			int j=i;
			while(j<=n&&!x.a[j][i]){
				j++;
			}
			if(j>n){
				return 0;
			}
			res=-res;
			for(int k=1;k<=n;k++){
				swap(x.a[i][k],x.a[j][k]);
			}
		}
		int inv=getinv(x.a[i][i]),mul;
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			mul=1LL*x.a[j][i]*inv%mod;
			for(int k=1;k<=n;k++){
				x.a[j][k]=(x.a[j][k]-1LL*mul*x.a[i][k]%mod+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(res<0){
		res+=mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		res=1LL*res*x.a[i][i]%mod;
	}
	return res;
}
struct poly{
	int len,a[N*2];
	poly(){len=0;memset(a,0,sizeof(a));}
	void clear(){
		while(len&&!a[len]){
			len--;
		}
	}
	poly operator + (const poly &b) const{
		poly c;
		c.len=max(len,b.len);
		for(int i=0;i<=c.len;i++){
			c.a[i]=(a[i]+b.a[i])%mod;
		}
		c.clear();
		return c;
	}
	poly operator - (const poly &b) const{
		poly c;
		c.len=max(len,b.len);
		for(int i=0;i<=c.len;i++){
			c.a[i]=(a[i]-b.a[i]+mod)%mod;
		}
		c.clear();
		return c;
	}
	poly operator * (const poly &b) const{
		poly c;
		c.len=len+b.len;
		for(int i=0;i<=len;i++){
			for(int j=0;j<=b.len;j++){
				c.a[i+j]=(c.a[i+j]+1LL*a[i]*b.a[j])%mod;
			}
		}
		c.clear();
		return c;
	}
	poly operator * (const int &x) const{
		poly c=*this;
		for(int i=0;i<=c.len;i++){
			c.a[i]=1LL*c.a[i]*x%mod;
		}
		c.clear();
		return c;
	}
	poly operator / (const poly &b) const{
		if(len<b.len){
			return poly();
		}
		poly a=*this,c;
		c.len=a.len-b.len;
		int inv=getinv(b.a[b.len]);
		for(int i=c.len;i>=0;i--){
			c.a[i]=1LL*a.a[i+b.len]*inv%mod;
			for(int j=i+b.len;j>=i;j--){
				a.a[j]=(a.a[j]-1LL*c.a[i]*b.a[j-i]%mod+mod)%mod;
			}
		}
		c.clear();
		return c;
	}
	poly operator % (const poly &b) const{
		if(len<b.len){
			return *this;
		}
		poly a=*this,c;
		c.len=a.len-b.len;
		int inv=getinv(b.a[b.len]);
		for(int i=c.len;i>=0;i--){
			c.a[i]=1LL*a.a[i+b.len]*inv%mod;
			for(int j=i+b.len;j>=i;j--){
				a.a[j]=(a.a[j]-1LL*c.a[i]*b.a[j-i]%mod+mod)%mod;
			}
		}
		a.clear();
		return a;
	}
}res;
poly lagrange(){
	poly prod,tmp,divi,res;
	prod.a[0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		tmp.len=1;
		tmp.a[0]=x[i];
		tmp.a[1]=mod-1;
		prod=prod*tmp;
	}
	for(int i=0;i<=n;i++){
		tmp.len=1;
		tmp.a[0]=x[i];
		tmp.a[1]=mod-1;
		divi=prod/tmp;
		int val=1;
		for(int j=0;j<=n;j++){
			if(j!=i){
				val=1LL*val*(x[j]-x[i]+mod)%mod;
			}
		}
		val=1LL*y[i]*getinv(val)%mod;
		res=res+divi*val;
	}
	return res;
}
int main(){
	scanf("%s%d",k+1,&n);
	len=strlen(k+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			scanf("%d",&a.a[i][j]);
		}
	}
	b=a;
	for(int i=0;i<=n;i++){
		x[i]=i;
		y[i]=det(b);
		for(int j=1;j<=n;j++){
			b.a[j][j]=(b.a[j][j]-1+mod)%mod;
		}
	}
	res=lagrange();
	poly base,prod;
	base.len=1;
	base.a[1]=1;
	prod.a[0]=1;
	for(int i=len;i>=1;i--){
		if(k[i]>'0'){
			prod=prod*base%res;
		}
		base=base*base%res;
	}
	matrix mat,ans;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		mat.a[i][i]=1;
	}
	for(int i=0;i<=prod.len;i++){
		ans=ans+mat*prod.a[i];
		mat=mat*a;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			printf("%d ",ans.a[i][j]);
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}