【HNOI 2010】弹飞绵羊

【题目】

传送门

题目描述：

Lostmonkey 发明了一种超级反弹装置。为了在绵羊朋友面前显摆，他邀请小绵羊一起玩个游戏。游戏一开始，Lostmonkey 在地上沿一条直线摆放 $n$ 个反弹装置，并按从前往后的方式将反弹装置依次编号为 $0$ 到 $n-1$，对 $0\le i\le n-1$，为第 $i$ 个反弹装置设定了初始弹力系数 $k_i$，当绵羊落到第 $i$ 个反弹装置上时，它将被往后弹出 $k_i$ 步，即落到第 $i+k_i$ 个反弹装置上，若不存在第 $i+k_i$ 个反弹装置，则绵羊被弹飞。绵羊想知道：从第 $i$ 个反弹装置开始，它被弹出几次（含被弹飞的那次）后会被弹飞。为使游戏更有趣，Lostmonkey 还可以修改某个反弹装置的弹力系数，但任何时候弹力系数均为正整数。

输入格式：

输入第一行是一个整数 $n$ ，表示地上摆放 $n$ 个反弹装置。

输入第二行是用空格隔开的 $n$ 个正整数 $k_0$，$k_1$，$\cdots$，$k_{n-1}$，分别表示 $n$ 个反弹装置的初始弹力系数。

输入第三行是一个正整数 $m$，表示后面还有 $m$ 行输入数据。

接下来的 $m$ 行，每行至少有用空格隔开的两个整数 $i$ 和 $j$ ，若 $i=1$，则你要输出从第 $j$ 个反弹装置开始，被弹出几次后会被弹飞；若 $i=2$，则该行有用空格隔开的三个整数 $i$，$j$ 和 $k$，表示第 $j$ 个反弹装置的弹力系数被修改为 $k$。

输出格式：

输出包含的行数等于输入文件最后 $m$ 行中 $i=1$ 的行数。第 $h$ 行输出一个整数，表示对输入中给出的第 $h$ 个求弹出次数的问题，基于 $n$ 个反弹装置当时的弹力系数，求出的弹出次数。

样例数据：

输入
4
1 2 1 1
3
1 1
2 1 1
1 1

输出
2
3

备注：

【数据范围】

$20\%$ 的数据满足：$n,m\le 10000$；
$100\%$ 的数据满足：$n\le 200000$，$m\le 100000$。

【分析】

LCT 的模板题。

为了方便，我把下标编号加 $1$，即将下标编号变为 $1$ 到 $n$。

对于 $i$，如果 $i+k_i\le n$，就连一条 $(i,i+k_i)$ 的边，表示从 $i$ 可以弹到 $i+k_i$；否则就连 $(i,n+1)$ 的边，表示从 $i$ 可以弹出去。

这样连出来后必然是一棵树，因为虽然每个点可以连进来很多条，但只能连出去一条。

修改操作很简单，先 Cut 掉原来连的边，再连上以当前弹力系数对应的边就行了。

然后是询问操作，我们先把 $n+1$ 变成这棵树的跟（Makeroot 操作），然后我们把 $x$ 到根的路径提取出来（Access 操作），再把 $x$ 转到辅助树的根（Splay 操作），那么最后 $siz{e}_x-1$ 就是答案了。

应该还是比较好懂的吧。。

【代码】

#include
#include
#include
#include
#define N 200005
using namespace std;
int n,m,a[N],fa[N],son[N][2],mark[N],Size[N];
stack<int>stk;
int Get(int x)
{
	return x==son[fa[x]][1];
}
bool Isroot(int x)
{
	if(!fa[x])  return true;
	return (son[fa[x]][0]!=x)&&(son[fa[x]][1]!=x);
}
void Pushup(int x)
{
	Size[x]=Size[son[x][0]]+Size[son[x][1]]+1;
}
void Pushdown(int x)
{
	if(!mark[x])  return;
	if(son[x][0])  mark[son[x][0]]^=1;
	if(son[x][1])  mark[son[x][1]]^=1;
	swap(son[x][0],son[x][1]),mark[x]=0;
}
void Rotate(int x)
{
	int y=fa[x],z=fa[y];
	int k=Get(x),l=son[x][k^1];
	son[y][k]=l;fa[l]=(l?y:0);
	if(!Isroot(y))  son[z][Get(y)]=x;fa[x]=z;
	son[x][k^1]=y,fa[y]=x;
	Pushup(y),Pushup(x);
}
void Splay(int x)
{
	stk.push(x);
	for(int i=x;!Isroot(i);i=fa[i])  stk.push(fa[i]);
	while(!stk.empty())  Pushdown(stk.top()),stk.pop();
	while(!Isroot(x))
	{
		int y=fa[x];
		if(!Isroot(y))  Rotate(Get(x)==Get(y)?y:x);
		Rotate(x);
	}
}
void Access(int x)
{
	int i;
	for(i=0;x;x=fa[i=x])
	  Splay(x),son[x][1]=i,Pushup(x);
}
void Makeroot(int x)
{
	Access(x);
	Splay(x);
	mark[x]^=1;
}
void Link(int x,int y)
{
	Makeroot(x);
	fa[x]=y;
}
void Cut(int x,int y)
{
	Makeroot(x);
	Access(y);Splay(y);
	son[y][0]=fa[x]=0;
	Pushup(y);
}
int Query(int x)
{
	Makeroot(n+1);
	Access(x),Splay(x);
	return Size[x]-1;
}
void Modify(int x,int y)
{
	Cut(x,(x+a[x]<=n)?x+a[x]:n+1);
	Link(x,(x+y<=n)?x+y:n+1),a[x]=y;
}
int main()
{
	int x,y,i,op;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;++i)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		Link(i,(i+a[i]<=n)?i+a[i]:n+1);
	}
	scanf("%d",&m);
	for(i=1;i<=m;++i)
	{
		scanf("%d%d",&op,&x);
		if(op==1)  printf("%d\n",Query(++x));
		if(op==2)  scanf("%d",&y),Modify(++x,y);
	}
	return 0;
}