最长反链=最小链覆盖（证明+解析）

最长反链与最小链覆盖  

转自：http://vfleaking.blog.163.com/blog/static/1748076342012918105514527/

膜拜！

大前提：在有向无环图中

链是一个点的集合，这个集合中任意两个元素v、u，要么v能走到u，要么u能走到v。

反链是一个点的集合，这个集合中任意两点谁也不能走到谁。

最长反链是反链中最长的那个。

那么最长反链怎么求呢？

另一个东西叫：最小链覆盖。就是用最少的链，经过所有的点至少一次（为什么不叫最少链覆盖啊囧……）

于是啥啥定理来了：最长反链长度 = 最小链覆盖数

下面来证明：

首先，最长反链中的每个点，一定在不同的链中，所以得到：最长反链长度 ≤ 最小链覆盖数

下面关心的是，最长反链长度 ≥ 最小链覆盖数吗？

用数学归纳法。

首先空的图显然成立。

假设对于所有点数小于图G的图都成立，现在来证G也满足条件。

两个定义：源：没有一个点能走到它的点。（入度为0）  汇：不能走到任何一个点的点。（出度为0）

设：

这个图点集为V

这个图的最长反链为A

能走到A中某个点的点的集合为B，A中某个点能走到的点构成的集合为C。

（1）若A中至少有一个点既不是源也不是汇

则：

1. B ≠ V （否则反链的点全是汇）

2. C ≠ V （否则反链的点全是源）

3. B ∪ C = V：反证法，假设有一个点v既不属于B也不属于C，那么说明反链上任何一点不能到v，v也不能到反链上任何一个点，反链加上v之后能成为更长的反链，与假设矛盾。

 4. B ∩ C = A：反证法，假设有一个点v既属于B也属于C但不属于A，那么说明反链上某点a能到v，v能到反链上某点b。若a = b，则与图是有向无环图矛盾。若a ≠ b，则a能先到v，在从v到达b，与a、b都在反链上矛盾。

设B构成的子图、C构成的子图的最小链覆盖的链的集合分别为C[B]和C[C]。因为|B| < |V|，|C| < |V|，由归纳假设，C[B]、C[C]大小分别等于B构成的子图和C构成的子图的最长反链的大小。

考虑一条链c ∈ C[B]，则c中必然存在一个在最长反链上的点v，不然最小链覆盖会大于最长反链，与归纳假设矛盾。因为B ∩ C = A，所以C[B]中v不能到任何一个点。所以v必为c的汇。

于是得到：A中的点都是C[B]中某条链的汇。

同理：A中的点都是C[C]中某条链的源。

又B ∪ C = V，B ∩ C = A，C[B]中某条链的汇必为C[C]中某条链的源，于是把C[B]和C[C]拼起来，就得到一个原图G的一种可行的链覆盖了！

考虑这个链覆盖，发现这个链覆盖大小 = 最长反链长度，得到最小链覆盖大小 ≤ 最长反链长度。又由前面的最小链覆盖大小 ≥ 最长反链长度，所以G中最小链覆盖大小 = 最长反链长度

（2）若A是所有源的集合或所有汇的集合 

若A是所有源的集合，那么从A中随便取一个元素v（这个可以随便找到吧）

再从V中随便找一个汇u，使得v可以到u（这个也可以随便找到吧）（u可以等于v）

然后G中去掉v、u形成图G'。则G'的最长反链大小一定小于等于|A| - 1，不然的就可以在G中找到一条不选v、u的最长反链，利用（1）的结论可以证明正确性。

由于归纳假设，则G'中一定可以找到一个数量为|A| - 1的链覆盖。再加上{v} ∪ {u}这条链，则可以在G中找到一个数量为|A|的链覆盖，所以G的最小链覆盖 ≤ 最长反链长度。

又由前面的最小链覆盖大小 ≥ 最长反链长度，所以G中最小链覆盖大小 = 最长反链长度。

证完了，这就是传说中的Dilworth定理： 最小链覆盖数 = 最长反链长度。

其对偶定理：最长链长度 = 最小反链覆盖数 就不证了，网上的证明烂大街了。

那么求最小链覆盖数的方法，就是首先传递闭包，然后就变成了最小路径覆盖。拆点，用二分图匹配解决之。这是后话，不说了。

应用：
NOIP 1999 导弹拦截

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