复变函数和积分变换(Integral Transform)

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复变函数和积分变换(Complex Function I)
复变函数和积分变换(Complex Function II)
复变函数和积分变换(Integral Transform)

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参考文献：
mooc国防科技大学《复变函数》
王忠仁、张静《工程数学：复变函数和积分变换》
焦红伟、尹景本《复变函数与积分变换》
梁昆淼《数学物理方法》

Fourier 变换

所谓积分变换，就是把某函数类 A 中的函数 $f(t)$ 乘上一个确定的二元函数$k(t,p)$，然后计算积分 $F(p)=\int k(t,p)f(t)dt$，这样变成另一个函数类 B 中的函数 $F(p)$ 。这里二元函数$k(t,p)$是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核函数(kernel function)， $f(t)$ 称为象原函数(original image function)，$F(p)$ 称为 $f(t)$的象函数(image function)。如果取积分核 $k(\omega ,t)=e^{-i\omega t}$，就是著名的Fourier 变换。

Fourier 变换

• 周期函数的Fourier 级数：设 $f_T(t)$ 是以T为周期的实值函数，在区间 $[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]$上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：
  (1)连续或只有有限个第一类间断点；
  (2)只有有限个极值点
  则$f_T(t)$在连续点处可以展开成Fourier 级数：$$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t)\text{\hspace{1em}(F0)}$$ 在间断点处，上式左端为 $\frac{1}{2}[f_T(t^{-})+f_T(t^{+})]$
  其中 $$\begin{gathered} {\omega }_0=2\pi /T \\ {a}_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{f}_T(t)\cos n{\omega }_{0}t\text{d}t(n=0,1,2,\cdots ) \\ {b}_n=\frac{2}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{f}_T(t)\sin n{\omega }_{0}t\text{d}t(n=1,2,3,\cdots ) \end{gathered}$$
  式 (F0) 称为Fourier 级数的三角形式。

• 奇函数和偶函数的傅里叶展开
  若周期函数 $f_T(t)$ 是奇函数，由展开式知 $a_0$ 及 $a_n$ 均为零，展开式称为
  $$f_T(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin n{\omega }_{0}t$$ 称为傅里叶正弦级数。
  若周期函数 $f_T(t)$ 是偶函数，由展开式知 $b_n$ 均为零，展开式称为
  $$f_T(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos n{\omega }_{0}t$$ 称为傅里叶余弦级数。

• Fourier 级数的指数形式：利用欧拉公式 $\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2},\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$ 将Fourier 级数转化为复指数形式， $$f_T(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }(c_n{e}^{in{\omega }_{0}t}+c_{-n}{e}^{-in{\omega }_{0}t})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{in{\omega }_{0}t}\text{\hspace{1em}(F1)}$$ 其中 $$c_n=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{f}_T(t)e^{-in{\omega }_{0}t}\text{d}t(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )\text{\hspace{1em}(F2)}$$ 由 $c_n$与$a_n,b_n$的关系可知
  $\{\begin{array}{l}{c}_n=c_{-n}=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}=\frac{1}{2}{A}_n\\ \arg c_n=-\arg c_{-n}={\theta }_n\\ |c_0|=A_0\end{array}$

• Fourier 级数的物理含义：
  针对Fourier 级数的三角形式 (F0) ，取$A_0=a_0/2$，令$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},\cos {\theta }_n=a_n/A_n,\sin {\theta }_n=-b_n/A_n$，则(F0)化为
  $\begin{array}{rl}{f}_T(t)& =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n(\cos {\theta }_n\cos n{\omega }_{0}t+\sin {\theta }_n\sin n{\omega }_{0}t)\\ & =A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)\end{array}$
  
  (1) 上式表明，周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，这些简谐波的(角) 频率(frequency) 为一个基频(fundamental frequency) ${\omega }_0$的倍数。
  振幅(amplitude) $A_n$ 反映了在信号 $f_T(t)$ 中频率为 $n{\omega }_0$的简谐波所占有的份额；
  相位(phase) $n{\omega }_{0}t+{\theta }_n$反映了在信号 $f_T(t)$ 中频率为 $n{\omega }_0$的简谐波沿时间轴移动的大小，初相位(Initial Phase) 为${\theta }_n$。
  $A_0$表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫 直流分量(DC component)，$|A_0|$称为直流分量的振幅。
  (2) 对于Fourier 级数的复指数形式，我们不难看出 $c_n$作为复数，其模和辐角恰好反应了第 n次谐波的振幅和初相位，$c_n$是离散频率 $n{\omega }_0$的函数，描述了各次谐波的振幅和初相位随离散频率变化的分布情况。称 $c_n$为 $f_T(t)$的离散频谱(spectrum)，$|c_n|$为离散振幅谱(amplitude spectrum)，$\arg c_n$为离散相位谱(phase spectrum)。

• 非周期函数的Fourier 变换
  上面研究的是周期函数，事实上对于一个非周期函数$f(t)$ 可以看成是一个周期为 T的函数$f_T(t)$ 当$T\to +\infty$时转化而来。
  由Fourier 级数式(F1)和式(F2)有 $f(t)=\underset{T\to +\infty }{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }[\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{f}_T(\tau )e^{-in{\omega }_0\tau }\text{d}\tau ]e^{in{\omega }_{0}t}$
  记 ${\omega }_n=n{\omega }_0$，间隔 ${\omega }_0=\Delta \omega$，当n 取一切整数时， ${\omega }_n$ 所对应的点便均匀地分布在整个数轴上，并由 $T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{2\pi }{\Delta \omega }$ 得
  $f(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{\Delta \omega \to 0}{\lim }\sum _{n=-\infty }^{\infty }[{\int }_{-\pi /\Delta \omega }^{\pi /\Delta \omega }{f}_T(\tau )e^{-i{\omega }_n\tau }\text{d}\tau ]e^{i{\omega }_{n}t}\Delta \omega$
  这是一个和式得极限，按照积分的定义，在一定条件下，上式可写成$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }\text{d}\tau ]e^{i\omega t}\text{d}\omega \text{\hspace{1em}(F3)}$$ 这个公式称为函数 $f(t)$的Fourier 积分公式。应该指出，上式只是由式(F1)的右端从形式上推出来的，是不严格的.。至于一个非周期函数 $f(t)$在什么条件下，可以用Fourier 积分公式表示，有下面的定理。
  Fourier 积分定理：若 $f(t)$在 $\mathbb{R}$上满足：
  (1) 在任一有限区间上满足狄利克雷(Dirichlet)条件；
  (2) 在无限区间$(-\infty ,+\infty )$上绝对可积 ( 即 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t)|dt$ 收敛)
  则有(F3)式成立
  在间断点处，(F3)式左端为 $\frac{1}{2}[f(t^{-})+f(t^{+})]$
  Fourier 变换：如果函数 $f(t)$满足Fourier 积分定理，由式(F3)，令 $$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )e^{-i\omega \tau }\text{d}\tau \text{\hspace{1em}(F4)}$$ 则有 $$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{d}\omega \text{\hspace{1em}(F5)}$$
  从上面两式可以看出，$f(t)$和 $F(\omega )$通过确定的积分运算可以互相转换。 $F(\omega )$称为 $f(t)$ Fourier 变换(Fourier transform)，或象函数(image function)，记为$F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$ ；$f(t)$称为 $F(\omega )$ Fourier 逆变换(inverse Fourier transform)，或象原函数(original image function)，记为$f(t)={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]$ ；通常称$f(t)$与$F(\omega )$构成一个Fourier 变换对(transform pair)，记作 $f(t)\leftrightarrow F(\omega )$

• 傅里叶正弦变换和余弦变换：和傅里叶级数的情形类似，奇函数 $f(x)$ 的傅里叶变换是傅里叶正弦变换
  $$\begin{gathered} B(\omega )={\int }_0^{+\infty }f(t)\sin \omega t\text{d}t \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{+\infty }F(\omega )\sin \omega t\text{d}\omega \end{gathered}$$
  偶函数 $f(t)$ 的傅里叶变换是傅里叶余弦变换
  $$\begin{gathered} A(\omega )={\int }_0^{+\infty }f(t)\cos \omega t\text{d}t \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{+\infty }F(\omega )\cos \omega t\text{d}\omega \end{gathered}$$

• Fourier 变换的物理意义
  Fourier 积分公式表明非周期函数的频谱是连续取值的。
  像函数$F(\omega )$反映的是函数 $f(t)$中各频率分量的分布密度，它为复值函数，故可表示为 $F(\omega )=|F(\omega )|e^{i\arg F(\omega )}$
  称 $F(\omega )$为 $f(t)$的频谱(spectrum)，$|F(\omega )|$为振幅谱(amplitude spectrum)，$\arg F(\omega )$为相位谱(phase spectrum)。
  不难证明当$f(t)$为实函数时，$|F(\omega )|$为偶函数，$\arg F(\omega )$为奇函数。

Fourier 变换的性质

1. 线性性质：$\mathcal{F}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha \mathcal{F}[f_1(t)]+\beta \mathcal{F}[f_2(t)]$

2. 延迟性质：设 $F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$，则
   $\mathcal{F}[f(t-t_0)]=e^{-i\omega t_0}F(\omega )$

3. 位移性质：设 $F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$，则
   $\mathcal{F}[e^{-i\omega t_0}f(t)]=F(\omega -{\omega }_0)$

4. 伸缩性质(相似性质)：设 $F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)],a\ne 0$，则
   $\mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{|a|}F(\frac{\omega }{a})$

5. 微分性质：若 $\underset{|t|\to +\infty }{\lim }{f}^{(k)}(t)=0(k=0,1,2,\cdots ,n-1)$，则
   $\mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(i\omega {)}^n\mathcal{F}[f(t)]$

6. 积分性质：设 $g(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(t)dt$，若 $\underset{t\to +\infty }{\lim }g(t)=0$则
   $\mathcal{F}[g(t)]=\frac{1}{i\omega }\mathcal{F}[f(t)]$

7. 帕赛瓦尔(Parseval)等式：设 $f_1(t),f_2(t)$均为平方可积函数，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f_k(t){|}^{2}dt<+\infty (k=1,2)$
   设 $F_1(\omega )=\mathcal{F}[f_1(t)],F_2(\omega )=\mathcal{F}[f_2(t)]$，则
   ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(t)\overline{f_2(t)}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{F}_1(\omega )\overline{F_2(\omega )}d\omega$
   特别的当 $f_1(t)=f_2(t)=f(t),F(\omega )=\mathcal{F}[f(t)]$时
   ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|f(t){|}^{2}dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|F(\omega ){|}^{2}d\omega$
   平方可积函数在物理上就是能量有限的信号，上式也叫能量积分(energy integral)，$|F(\omega ){|}^2$ 也叫能量谱密度(energy spectrum density)。

8. 卷积定理¹：设 $F_1(\omega )=\mathcal{F}[f_1(t)],F_2(\omega )=\mathcal{F}[f_2(t)]$，则有
   $\mathcal{F}[f_1\ast f_2]=F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )$
   ${\mathcal{F}}^{-1}[F_1(\omega )\cdot F_2(\omega )]=f_1\ast f_2$
   $\mathcal{F}[f_1\cdot f_2]=\frac{1}{2\pi }[F_1(\omega )\ast F_2(\omega )]$
   ${\mathcal{F}}^{-1}[F_1(\omega )\ast F_2(\omega )]=2\pi f_1{f}_2$

多重傅里叶积分

以三重傅里叶积分说明，首先将三维空间的非周期函数 $f(x,y,z)$ 按自变量 $x$ 展开为傅里叶积分，其傅里叶变换为 $F_1(k_1;y,z)$ ，其中 $y,z$ 作为参数出现。再将 $F_1(k_1;y,z)$ 按 $y$ 展开为傅里叶积分，得到 $F_2(k_1,k_2;z)$ ，最后将$F_2(k_1,k_2;z)$ 按 $z$ 展开为傅里叶积分。综合三次展开，得到 $f(x,y,z)$ 的三重傅里叶积分。
$$f(\mathbf{x})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}F(k_1,k_2,k_3)e^{\mathrm{i}(k_{1}x+k_{2}y+k_{3}z)}d{k}_{1}d{k}_{2}d{k}_3$$
$$F(k_1,k_2,k_3)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}f(x,y,z)e^{-\mathrm{i}(k_{1}x+k_{2}y+k_{3}z)}dxdydz$$
引入矢量 $\mathbf{r}=(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^n,\mathbf{k}=(k_1,k_2,k_3)$，可写为较简介的形式
$$F(\mathbf{k})=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}f(\mathbf{r})e^{-\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}d\mathbf{x}$$
则有
$$f(\mathbf{r})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}F(\mathbf{k})e^{\mathrm{i}\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}d\mathbf{k}$$
其中 $F(\mathbf{k})$ 称为 $f(\mathbf{r})$ 的 多重傅里叶变换，记为 $F(\mathbf{k})=\mathcal{F}[f(\mathbf{r})]$；$f(\mathbf{r})$ 称为 $F(\mathbf{k})$ 的 多重傅里叶逆变换，记为 $f(\mathbf{r})={\mathcal{F}}^{-1}[F(\mathbf{k})]$

δ 函数

在物理学中，常有集中于一点或一瞬时的量，如脉冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量。只有引入一个特殊函数来表示它们的分布密度，才有可能把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。

• 单位脉冲函数(Unit Impulse Function)
  <引例>：假设在原来电流为零的电路中，在 $t=0$ 时瞬时进入一电量为 $q_0$的脉冲。现在确定电流强度分布 $i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$，分析可知 $i(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t\ne 0)\\ \infty & (t=0)\end{array}$
  同时需要引入积分值表示电量大小 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }i(t)dt=q_0$
  为此我们引入单位脉冲函数，又称为Dirac函数或者δ函数。

  定义：单位脉冲函数 $\delta (t)$ 满足
  (1) 当 $t\ne 0$ 时，$\delta (t)=0$
  (2) ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=1$
  由此，引例可表示为 $i(t)=q_0\delta (t)$
  
  注意：
  (1) 单位脉冲函数 $\delta (t)$ 并不是经典意义下的函数，因此通常称其为广义函数(或者奇异函数)。
  (2) 它不能用常规意义下的值的对应关系来理解和使用，而总是通过它的定义和性质来使用它。
  (3) 单位脉冲函数 $\delta (t)$ 有多种定义方式，前面所给出的定义方式是由Dirac(狄拉克)给出的。

• 单位脉冲函数其他定义方式
  构造一个在 $\epsilon$ 时间内激发的矩形脉冲 ${\delta }_{\epsilon }(t)$，定义为
  ${\delta }_{\epsilon }(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<0)\\ 1/\epsilon & (0⩽t⩽\epsilon )\\ 0& (t>\epsilon )\end{array}$
  对于任何一个在 $(-\infty ,+\infty )$ 上无穷次可微的函数 $f(t)$ 如果满足
  $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_{\epsilon }(t)f(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)dt$$ 则称${\delta }_{\epsilon }(t)$的极限为$\delta (t)$，记为
  $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\delta }_{\epsilon }(t)=\delta (t)$$
  
  筛选性质(sifting property)： 设函数 $f(t)$ 是定义在 $\mathbb{R}$上的有界函数，且在 $t=0$ 处连续，则有
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)dt=f(0)$$
  证明：取 $f(t)\equiv 1$，则有 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_0^{\epsilon }\frac{1}{\epsilon }dt=1$
  事实上 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_{\epsilon }(t)f(t)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{\epsilon }{\int }_0^{\epsilon }f(t)dt$
  由微分中值定理有 $\frac{1}{\epsilon }{\int }_0^{\epsilon }f(t)dt=f(\theta \epsilon )(0<\theta <1)$
  从而 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f(t)dt=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }f(\theta \epsilon )=f(0)$

  正是因为 $\delta$ 函数并不是给出普通数值间的对应关系，因此，$\delta$ 函数也不像普通函数那样具有唯一确定的表达式，事实上凡是具有
  $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_{\epsilon }(t)f(t)dt=f(0)$$
  性质的函数序列 ${\delta }_{\epsilon }(t)$ ，或是具有
  $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }_n(t)f(t)dt=f(0)$$
  性质的函数序列 ${\delta }_n(t)$，他们的极限都是 $\delta$ 函数，例如
  
  

• δ函数的基本性质：（这些性质的严格证明可参阅广义函数）
  (1) $\delta (t)$ 和常数 $c$ 的乘积 $c\delta (t)$
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }[c\delta (t)]f(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)[cf(t)]dt=cf(0)$$
  (2) 平移变换， $t\to t-t_0$
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_0)f(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (x)f(x+t_0)dx=f(t_0)$$
  (3) 放大（或缩小）变换， $t\to at(a\ne 0)$
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (at)f(t)dt=\delta (x)f(\frac{x}{a})\frac{dx}{|a|}=\frac{1}{|a|}f(0)$$ 由此可以得到
  $$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)(a\ne 0)$$

  特别的，当 $a=-1$ 时，$\delta (t)=\delta (-t)$ ，说明 $\delta (t)$为偶函数。

  (4) $\delta$ 函数的导数 ${\delta }^{\prime }(t)$ ，对于在 $t=0$ 点连续并有连续导数的任意函数 $f(t)$ ，应用分部积分
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{\prime }(t)f(t)dt=\delta (t)f(t){|}_{-\infty }^{+\infty }-{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)f^{\prime }(t)dt=-f^{\prime }(0)$$
  (5) $\delta$ 函数的高阶导数 ${\delta }^{(n)}(t)$ ，对于在 $t=0$ 点连续并有连续导数的任意函数 $f(t)$ ，有
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\delta }^{(n)}(t)f(t)dt=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$
  (6) $\delta$ 函数与普通函数的乘积 $g(t)\delta (t)$
  $${\int }_{-\infty }^{+\infty }[g(t)\delta (t)]f(t)dt={\int }_{-\infty }^{+\infty }[f(t)g(t)]\delta (t)dt=f(0)g(0)$$
  即
  $$f(t)\delta (t)=f(0)\delta (t)$$
  例如： $t\delta (t)=0$

  (7) 单位阶跃函数²等于 $\delta$ 函数的积分
  $$u(t)={\int }_{-\infty }^t\delta (s)ds$$ 由高数知识知，$\delta$ 函数是单位阶跃函数的导数，即
  $$\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t}=\delta (t)$$

  (8) $\delta$ 函数的卷积
  $$f(t)\ast \delta (t)=f(t)$$
  一般的有 $f(t)\ast \delta (t-t_0)=f(t-t_0)$

• δ函数的Fourier 变换：
  (1) 根据 $\delta$ 函数筛选性质可得
  $F(\omega )=\mathcal{F}[\delta (t)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (t)e^{-i\omega t}\text{d}t=e^{-i\omega t}{|}_{t=0}=1$
  $\delta (t)={\mathcal{F}}^{-1}[1]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{i\omega t}\text{d}\omega$
  或写为
  $\delta (t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\cos \omega t\text{d}\omega =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\cos \omega t\text{d}\omega$
  由此可见，单位冲激函数包含所有频率成份，且它们具有相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。
  我们可以得到 ：
  $$\begin{array}{rl}& \delta (t)\leftrightarrow 1\\ & \delta (t-t_0)\leftrightarrow e^{-i\omega t_0}\\ & 1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )\\ & e^{-i{\omega }_{0}t}\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega -{\omega }_0)\end{array}$$
  (2) 有许多重要的函数不满足Fourier 积分定理条件（绝对可积），例如常数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数和余弦函数等，但它们的广义Fourier 变换³也是存在的，利用单位脉冲函数及其Fourier 变换可以求出它们的Fourier 变换。

• 周期函数的Fourier 变换
  定理：设 $f(t)$ 以T 为周期，在 $[0,T]$ 上满足 Dirichlet 条件，则 $f(t)$的Fourier 变换为：$$F(\omega )=2\pi \sum _{n=-\infty }^{+\infty }F(n{\omega }_0)\delta (\omega -n{\omega }_0)$$ 其中 ${\omega }_0=2\pi /T,F(n{\omega }_0)$是 $f(t)$ 的离散频谱。

• 多维 $\delta$ 函数：例如位于三维空间的坐标原点质量为 $m$ 的质点，其密度函数可表示为 $m\delta (\mathbf{r})$。 在三维空间中的 $\delta$ 函数定义如下：
  $$\begin{gathered} \delta (\mathbf{r})=\{\begin{array}{ll}0& (\mathbf{r}\ne 0)\\ \infty & (\mathbf{r}=0)\end{array} \\ \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}\delta (\mathbf{r})\mathrm{d}\mathbf{r}=1 \end{gathered}$$
  三维 $\delta$ 函数可表示为三个一维 $\delta$ 函数乘积表示，在直角坐标系中
  $$\delta (\mathbf{r})=\delta (x)\delta (y)\delta (z)$$
  三维空间点 ${\mathbf{r}}_0=(x_0,y_0,z_0)$ 处密度分布函数就是
  $$\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=\delta (x-x_0)\delta (y-y_0)\delta (z-z_0)$$ 换算到柱坐标系 ${\mathbf{r}}_0=(r_0,{\theta }_0,z_0)$
  $$\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=\frac{1}{r_0}\delta (r-r_0)\delta (\theta -{\theta }_0)\delta (z-z_0)$$ 换算到球坐标系 ${\mathbf{r}}_0=(r_0,{\theta }_0,{\varphi }_0)$
  $$\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=\frac{1}{r_0^2\sin {\theta }_0}\delta (r-r_0)\delta (\theta -{\theta }_0)\delta (\varphi -{\varphi }_0)$$
  多维 $\delta$ 函数主要性质：
  $$\begin{gathered} \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}f(\mathbf{r})\delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)\mathrm{d}\mathbf{r}=f({\mathbf{r}}_0) \\ \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\iiint }}f(\mathbf{r})[\nabla \delta (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)]\mathrm{d}\mathbf{r}=-\nabla f(\mathbf{r}){|}_{\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0} \end{gathered}$$
  位矢的微分：
  $$\Delta \frac{1}{r}=-4\pi \delta (\mathbf{r})$$ 其中 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Fourier 变换的应用

1. 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function) $f(t)=\{\begin{array}{ll}1& |t|<a\\ 0& |t|>a\end{array}$ 的Fourier 变换及其Fourier 积分表达式。
   
   (1) Fourier 变换为
   $\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}\text{d}t={\int }_{-a}^a{e}^{-i\omega t}\text{d}t\\ & ={\int }_{-a}^a\cos (\omega t)\text{d}t-\text{i}{\int }_{-a}^a\sin (\omega t)\text{d}t\\ & =2{\int }_0^a\cos (\omega t)\text{d}t\\ & =\frac{2\sin (a\omega )}{\omega }=2a\frac{\sin (a\omega )}{a\omega }\end{array}$
   (2) 振幅谱 $|F(\omega )|=2a\left|\frac{\sin (a\omega )}{a\omega }\right|$
   相位谱 $\arg F(\omega )=\{\begin{array}{ll}0& \frac{2n\pi }{a}⩽|\omega |⩽\frac{2n\pi }{a}\\ \pi & \text{others}\end{array}$
   
   (3) Fourier 积分表达式为
   $\begin{array}{rl}f(t)& ={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{d}\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{2\sin (a\omega )}{\omega }{e}^{i\omega t}\text{d}\omega \\ & =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin (a\omega )}{\omega }\cos \omega t\text{d}\omega \\ & =\{\begin{array}{ll}1& |t|<a\\ \frac{1}{2}& |t|=a\\ 0& |t|>a\end{array}\end{array}$
   在上式中令 $t=0$，可得重要公式：
   $\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin (ax)}{x}\text{d}x=\{\begin{array}{ll}-\pi & a<0\\ 0& a=0\\ \pi & a>0\end{array}}$
   特别的 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x}{x}\text{d}x=\frac{\pi }{2}$

2. 求指数衰减函数(exponential decay function) $f(t)=\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ e^{-at}& t⩾0\end{array}(a>0)$ 的Fourier 变换及Fourier 积分表达式。
   (1) Fourier 变换为
   $\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-i\omega t}\text{d}t={\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}{e}^{-i\omega t}\text{d}t\\ & =\frac{1}{-(a+i\omega )}{e}^{-(a+i\omega )t}{|}_{t=0}^{t\to +\infty }\\ & =\frac{1}{a+i\omega }=\frac{a-i\omega }{a^2+{\omega }^2}\end{array}$
   (2) 振幅谱 $|F(\omega )|=\frac{1}{\sqrt{a^2+{\omega }^2}}$
   相位谱 $\arg F(\omega )=-\arctan \frac{\omega }{a}$

(3) Fourier 积分表达式为
$\begin{array}{rl}f(t)& ={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{d}\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\beta -i\omega }{{\beta }^2+{\omega }^2}{e}^{i\omega t}\text{d}\omega \\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{{\beta }^2+{\omega }^2}(\beta -i\omega )(\cos \omega t+i\sin \omega t)\text{d}\omega \end{array}$
利用奇偶函数的积分性质，可得
$f(t)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\beta \cos \omega t+\omega \sin \omega t}{{\beta }^2+{\omega }^2}\text{d}\omega$
由此顺便得到一个含参变量广义积分的结果
$\boxed{{\int }_0^{+\infty }\frac{\beta \cos \omega t+\omega \sin \omega t}{{\beta }^2+{\omega }^2}\text{d}\omega =\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ \frac{\pi }{2}& t=0\\ \pi e^{-\beta t}& t>0\end{array}}$

3. 求单位阶跃函数² $u(t)=\{\begin{array}{ll}0& (t<0)\\ 1& (t>0)\end{array}$ 的Fourier 变换及其积分表达式。
   (1) 现将 $u(t)$看作是指数衰减函数$f(t;\beta )=\{\begin{array}{ll}0& t<0\\ e^{-\beta t}& t>0\end{array}$ 在 $\beta \to 0^{+}$时的极限，即 $u(t)=\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }f(t;\beta )$
   $\begin{array}{rl}F(\omega )& =\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }\mathcal{F}[f(t;\beta )]\\ & =\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\beta +i\omega }=\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }(\frac{\beta }{{\beta }^2+{\omega }^2}-i\frac{\omega }{{\beta }^2+{\omega }^2})\\ & =\pi \delta (\omega )+\frac{1}{i\omega }\end{array}$
   又因 $\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\beta }{{\beta }^2+{\omega }^2}d\omega =\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }[\arctan \frac{\omega }{\beta }]{|}_{+\infty }^{-\infty }=\pi$
   所以$\underset{\beta \to 0^{+}}{\lim }\frac{\beta }{{\beta }^2+{\omega }^2}=\pi \delta (\omega )$
   $\mathcal{F}[u(t)]=\pi \delta (\omega )+\frac{1}{i\omega }$

   (2) Fourier 积分表达式
   $\begin{array}{rl}u(t)& ={\mathcal{F}}^{-1}[F(\omega )]\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\text{d}\omega =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }[\pi \delta (\omega )+\frac{1}{i\omega }]e^{i\omega t}\text{d}\omega \\ & =\frac{1}{2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\delta (\omega )e^{i\omega t}\text{d}\omega +\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{i\omega }{e}^{i\omega t}\text{d}\omega \\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{\omega }\text{d}\omega \end{array}$
   在上式中令 t=1，可得狄利克雷积分 ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}\text{d}t=\frac{\pi }{2}$

4. 求余弦函数 $f(t)=\cos {\omega }_{0}t$ 的Fourier 积分
   由欧拉公式 $\cos {\omega }_{0}t=\frac{1}{2}(e^{i{\omega }_{0}t}+e^{-i{\omega }_{0}t})$ 有
   $\begin{array}{rl}\mathcal{F}[\cos {\omega }_{0}t]& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\cos {\omega }_{0}t{e}^{-i\omega t}\text{d}t\\ & ={\int }_0^{+\infty }\frac{1}{2}(e^{i{\omega }_{0}t}+e^{-i{\omega }_{0}t})e^{-i\omega t}\text{d}t\\ & =\frac{1}{2}[{\int }_0^{+\infty }{e}^{-i(\omega -{\omega }_0)t}\text{d}t+{\int }_0^{+\infty }{e}^{-i(\omega +{\omega }_0)t}\text{d}t]\\ & =\pi [\delta (\omega -{\omega }_0)+\delta (\omega +{\omega }_0)]\end{array}$
   同理可证 $\mathcal{F}[\sin {\omega }_{0}t]=i\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)-\delta (\omega -{\omega }_0)]$

Laplace 变换

Laplace 变换

• Fourier 变换的局限性
  当函数满足Dirichlet条件，且在 $(-\infty ,+\infty )$ 上绝对可积时，则可以进行古典Fourier 变换。
  引入广义函数和广义Fourier 变换是扩大Fourier 变换使用范围的一种方法，却要求有一系列更深刻的数学理论支持。对于以指数级增长的函数，如 $e^{at}(a>0)$ 等，广义Fourier 变换仍无能为力。
  如何对Fourier 变换进行改造？
  (1) 由于单位阶跃函数 $u(t)\equiv 0(t<0)$，因此 $f(t)u(t)$ 可使积分区间从 $(-\infty ,+\infty )$ 变成 $[0,+\infty )$；
  (2) 另外，函数 $e^{-\beta t}(\beta >0)$ 具有衰减性质，对于许多非绝对可积的函数 $f(t)$，总可选择适当大的 β，使 $f(t)u(t)e^{-\beta t}$ 满足绝对可积的条件。
  通过上述处理，就有希望使得函数 $f(t)u(t)e^{-\beta t}$ 满足Fourier 变换的条件，从而可以进行Fourier 变换。
  $\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(t)u(t)e^{-\beta t}{e}^{-i\omega t}\text{d}t={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-(\beta +i\omega )t}\text{d}t$
  令 $s=\beta +i\omega$ 可得 $\mathcal{F}[f(t)u(t)e^{-\beta t}]={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}\text{d}t$

  用幂级数推导出 “Laplace 变换”

• Laplace变换
  Laplace变换：设函数$f(t)$ 在$t⩾0$时有定义，且积分${\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}dt$在复数 s 的某一个区域内收敛，则此积分所确定的函数$$F(s)={\int }_0^{+\infty }f(t)e^{-st}\text{d}t$$称为函数$f(t)$的Laplace 变换，记为$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]$，函数 $F(s)$ 也可称为 $f(t)$的象函数。$f(t)={\mathcal{L}}^{-1}[F(s)]$称为Laplace 逆变换。
  在Laplace 变换中，只要求$f(t)$在 $[0,+\infty )$ 内有定义即可。为了研究方便，以后总假定在$(-\infty ,0)$ 内，$f(t)\equiv 0$

  Laplace变换存在定理：设函数 $f(t)$满足
  (1) 在$t⩾0$的任何有限区间分段连续；
  (2) 当 $t\to +\infty$时，$f(t)$的增长速度不超过某指数函数，即 $\exists M>0,C⩾0$，使得 $|f(t)|⩽M{e}^{Ct}(t⩾0)$ 成立。
  则$f(t)$的Laplace 变换$F(s)$在半平面 $\text{Re }(s)>C$上一定存在，且是解析的。

  周期函数的Laplace变换：设 $f(t)$是 $[0,+\infty )$ 内以T 为周期的函数，且逐段光滑，则$$\mathcal{L}[f(t)]=\frac{1}{1-e^{-sT}}{\int }_0^{T}f(t)e^{-st}\text{d}t$$

Laplace变换的性质

1. 线性性质：设$F_1(s)=\mathcal{L}[f_1(t)],F_2(s)=\mathcal{L}[f_2(t)]$
   $\mathcal{L}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)$
   ​ ${\mathcal{L}}^{-1}[\alpha F_1(s)+\beta F_2(s)]=\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)$

2. 位移性质：$\mathcal{L}[e^{s_{0}t}f(t)]=F(s-s_0)$

3. 微分性质：设$F($