欧拉通路、欧拉回路、欧拉图概念区分

转自https://blog.csdn.net/flx413/article/details/53471609

欧拉通路，欧拉回路，欧拉图

无向图：
1）设G是连通无向图，则称经过G的每条边一次并且仅一次的路径为欧拉通路;
2）如果欧拉通路是回路（起点和终点是同一个顶点） ，则称此回路为欧拉回路（Euler circuit）;
3）具有欧拉回路的无向图G称为欧拉图（欧拉图）。
有向图：
1）设D是有向图，D的基图连通，则称经过D的每条边一次并且仅一次的有向路径为有向欧拉通路;
2）如果有向欧拉通路是有向回路，则称此有向向回路为有向欧拉回路（定向欧拉电路）;
3）具有有向欧拉回路的有向图D称为有向欧拉图（定向欧拉图）。

2.定理及推论

欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下面的定理及推论。
定理5.1无向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
推论5.1：

1）当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点
.2）当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路
.3）G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为无奇度点的连通图。

定理5.2有向图D存在欧拉通路的充要条件是：
D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等;或者除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度
与入度之差为-1。
推论5.2：
1）当D除出，入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，d的有向欧拉通路必以出，入度之差为1的顶点作为始点，以出，入度之差为-1的顶点作为终点
.2）当D的所有顶点的出，入度都相等时，D中存在有向欧拉回路
.3）有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是d的基图为连通图，并且所有顶点的出，入度都相等。

3.欧拉回路的应用

欧拉回路最著名的有三个应用，大家可以网上百度一下，这里不详述。

• 哥尼斯堡七桥问题
• 一笔画问题。
• 旋转鼓轮的设计

4.欧拉回路的判定

判断欧拉路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

5.具体的题目实现

• POJ 1386 
• POJ 1300
• POJ 2513

 6.还有其他一些关于这方面的博客写的挺好的

关于欧拉回路和欧拉路径

欧拉回路