codeforces 622F. The Sum of the k-th Powers (拉格朗日插值法)★

modulo 109 + 7


根据题目给出的例子我们可以发现, k次方的通项公式的最高次是k+1次, 根据拉格朗日插值法, 构建一个k+1次的方程需要k+2项。

然后公式是  , 对于这个题, p[i]就是i^k+(i-1)^k+(i-2)^k+.....+1^k, 这部分可以预处理出来。 自己不会搞公式 , 从http://www.cnblogs.com/qscqesze/p/5207132.html这里盗的(雾

我们发现上面就是(n-1)*(n-2)......*(n-k-2)/(n-i), 上面的那部分预处理出来, 除(n-i)相当于乘(n-i)的乘法逆元。

下面那部分就是(i-1)*(i-2)*...(i-i+1)     *   (i-i-1)*(i-i-2)*......(i-k-2), 相当于两个阶乘相乘, 阶乘预处理出来, 然后注意一下后面的正负号就可以了。

拉格朗日插值公式:

例如:当n=4时,上面的公式可简化为:
这是一个过4个点的唯一的三次多项式。 [1]  

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define L(i) i<<1
#define R(i) i<<1|1
#define INF  0x3f3f3f3f
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-3
#define maxn 1000100
#define MOD 1000000007
const long long mod = 1000000007;
long long n,k;
long long f[maxn],fac[maxn];
long long pow(long long a,long long b)
{
    long long ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int t,C = 1;
    //scanf("%d",&t);
    while(scanf("%lld%lld",&n,&k) != EOF)
    {
        for(int i = 1; i <= k+2; i++)
            f[i] = (f[i-1] + pow(i*1LL,k))%mod;
        fac[0] = 1;
        for(int i = 1; i < maxn; i++)
            fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
        if(n <= k+2)
        {
            printf("%lld\n",f[n]);
            continue;
        }
        long long cur = 1,ans = 0;
        for(int i = 1; i <= k+2; i++)
            cur = cur * (n-i) % mod;
        for(int i = 1; i <= k+2; i++)
        {
            long long tmp = pow(n-i,mod-2) % mod;
            long long tmp1 = pow(fac[i-1]%mod*fac[k+2-i]%mod,mod-2)%mod;
            int flag = (k+2-i)%2?-1:1;
            ans = (ans + cur%mod*tmp%mod*flag*tmp1%mod*f[i]%mod)%mod;
        }
        ans = (ans + mod) % mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}



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