cf#ECR7 - F - The Sum of the k-th Powers -拉格朗日插值/逆元/数学

 http://codeforces.com/contest/622/problem/F

F. The Sum of the k-th Powers

time limit per test

2 seconds

memory limit per test

256 megabytes

input

standard input

output

standard output

There are well-known formulas: , , . Also mathematicians found similar formulas for higher degrees.

Find the value of the sum  modulo 109 + 7 (so you should find the remainder after dividing the answer by the value 109 + 7).

Input

The only line contains two integers n, k (1 ≤ n ≤ 109, 0 ≤ k ≤ 106).

Output

Print the only integer a — the remainder after dividing the value of the sum by the value 109 + 7.

Sample test(s)

input

4 1

output

10

input

4 2

output

30

input

4 3

output

100

input

4 0

output

4

题意很明显是求 sum= 1^k+ 2^k + 3^k+......n^k

n《1e9，k《1e6

直接求显然不太行得通啦，根据题目的提示，对于 i^k 的sum，总存在一个 最高次为k+1的通项，我们要找到这样一个通项才能解决问题。

而看到这个K 是1e6   根据拉格朗日插值公式，我们可以用x个点，来构造出一个最高次为x-1的通项公式，

根据题目,我们要找到一个最高次为k+1次的通项，因此，我们只需要求出k+2个点即可求出通项

唯一性：我们确定了多项式的最高次为k+1，通过范德蒙行列式 和 克莱姆法则，可以判定如果这n+2个点的x值（每个点为（x,sum(x)））各不相同，那么这个多项式是唯一的....可以自己翻翻怎么证。。孱弱就不懂了。。

下面看怎么求这个通项。

关于拉格朗日插值公式的使用可以看看这个文章：

http://www.guokr.com/post/456777/ 

根据公式，我们的通项f(n)= y[1]* (n-2) (n-3)...(n-k-2) / 【(1-2)(1-3)....(1-(k+2))】  ....以此类推k+2项

令tol= (n-1) (n-2) (n-3)...(n-(k+2))

也就是  每一项 A[i] =  y[i] * tol/(n-i)  / 【一个带正负号的阶乘】

由于tol 非常大，计算过程要取模，还有除法，要用到逆元公式，后面的第二个除法也要用到

注意判断符号的正负，然后就没有什么问题啦。

写得太挫，跑了1.5S

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include