树状数组入门超详解

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前言

原理 

query

 modify

模板

实际作用 

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前言

首先提出一个问题：对于一个长度为n的序列，进行以下操作：

• 给下标为x的位置的数加上c，简称 modify
• 求区间 [ L,  R ] 的和 ，简称 query

有下列几种方法可以实现

1. 利用数组实现操作，modify的时间复杂度为O(1)，query的时间复杂度为O(N)
2. 利用前缀和数组，modify的时间复杂度为O(N)，query的时间复杂度为O(1)

如果题中要求进行m次modify或者query操作，那么时间复杂度就会变成O(n*m)，很多情况下会超时；于是，树状数组站出来了；

树状数组对这两种操作的时间复杂度进行了折中处理

• modify复杂度为O(log n)
• query 复杂度为O(log n)

原理 

 任何一个 十进制数 都能用 二进制数 来表示

eg： X=      （）

那么区间 [1,x] 可以划分为以下几个连续的区间：

• (x- ,  x]      区间长度为 
• (x-- ,  x-]       区间长度为 
• (x--- ,  x--]       区间长度为 
• .........
• (x---...--- ,  x--...--- ]       区间长度为 

由上述区间可知，每个区间的长度就是区间右端点R的  lowbit(R) (就是R的二进制的最低为的1所代表的2次幂)

所以上述任何一个区间 ( L , R ] 都可以表示为  [R-lowbit(R)+1, R] 

设 c[R] 为 以 R 结尾，长度是  的区间和 （就是lowbit(R)）   则可得以下树状数组的图解（其中下方为原数组a的下标）

query

拿求区间 sum=[1,12] 的和举个例子；由图例可知  sum= c[12] + c[8] 

又因为8=12-lowbit(12)，所以 sum= c[12] + c[12-lowbit(12)]

于是推出区间求和操作  sum=[1,R]=  c[R] + c[R-lowbit(R)] + c [ temp - lowbit(temp)]+....             (temp=R-lowbit(R))

int query(int x)//查询区间1~x的区间和；
{
	int res=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
	return res; 
}

 modify

那么更改位置x的数值以后，怎样更新区间的数值呢？

eg：更新a[5]位置 的值，执行操作a[5]+=c;

• 首先a[5]这个位置要加上c，也就是  c[5]+=c
• 然后找子节点和父节点对应关系：c[5]对应的父节点为 c[6] ，c[6]对应的父节点为c[8],  c[8]对应的父节点为c[16]
• 也就是 5 ——> 6 ——> 8 ——> 16
• 转化关系为 6 =5+lowbit(5)   ； 8 =6+lowbit(6) ； 16=8+lowbit(8)

所以子节点更新父节点的方式就是，每次加上自身的lowbit 

void modify(int x,int c)//修改树状数组x位置的值
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}

 上述就是树状数组的基本原理，对于由父节点找子节点，由子节点找父节点的二进制原理，以及lowbit的基本原理，这里没有介绍；感兴趣的同学可以去b站找视频或者csdn等了解下；

 

模板

int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
void modify(int x,int c)//修改树状数组x位置的值
{
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) tr[i]+=c;
}
int query(int x)//查询区间1~x的区间和；
{
	int res=0;
	for(int i=x;i>=1;i-=lowbit(i)) res+=tr[i];
	return res; 
}

实际作用 

 简单说下树状数组能解决的问题：

• 单点修改，区间求和（利用模板即可）
• 区间修改，单点查询（做差分树状数组）
• 区间修改，区间求和（做差分树状数组，做前缀树状数组）

（能用树状数组解决的问题都能用线段树解决，树状数组原理难理解，但代码简单；线段树原理简单，代码长）