卢卡斯定理求组合数（逆元+费马小定理+扩展欧几里得）

今天在刷OJ的时候，刷到了这样一道题

题目描述：
NEUQ-AcmClub养了许多鸽子，有一天鸽子王想给鸽子们排排班，现在有n只鸽子，每天需要m只鸽子值班，问有多少种值班组合。

由于答案可能较大，我们把答案对一个素数p取模

输入：
输入三个整数 m,n, p m，n<10^18，p <=10^5

输出：
输出一个整数

样例输入：
2 5 11
样例输出
10

这一看不就是个水题直接求组合数求余嘛，打表直接提交。

memset(c,0,sizeof(c));
	c[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 1000; i ++){
		for(int j = 0; j <= i; j ++)
			if(j == 0 || j == i) c[i][j] = 1;
			else c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
	}

成功WA，返回来一看，m,n的数据范围直接给到了int_64，思考一番，不会。果断去百度了一下，才发现原来有一个定理——卢卡斯定理（用来特意解决这类问题），可能是我比较菜，费了好大劲才理解网上的讲解，于是打算自己写一篇我认为相对来说易于理解的blog。
（由于是主要学习算法，所以博客在分析算法的为主线的情况下去理解各种定理）

首先，我们目的是要求C(n,m)%p，而卢卡斯定理就是用来解决组合数求余的问题，首先来看一下卢卡斯定理的定义

通俗来讲就是
前提：
a,b可以表示成

且p为素数

结论：

前提对于任意a,b和素数p一定成立，因为最简形式为a = a0,如果a或b小于p，则问题退化为求c(a,b)

至于证明，可以简单了解一下，涉及到的数学知识较多，并不是算法的重点，所以不再过多介绍
下图参考冯志刚《初等数论》第37页。

有了卢卡斯定理，我们的求解过程就变得简单了。

Lucas:
  return 求组合数(a % p, b % p) * 卢卡斯函数(a / p, b / p);

那么如何来理解上面的代码呢，首先看求组合数这个函数，传入的是（a%p,b%p）这两个参数，那么正好对应上述公式里的a0和b0,然后将a,b分别除于p相当于以下过程

所以每次相当于将上述公式的ai传进去了，直到a被除到0为止

解决了这个问题，看似已经解决了求组合数的问题，但是还有很重要的一点，就是求余，在int_64的数据范围下，不采用同余法，是非常容易让数据直接爆掉的，而求组合数公式为

C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p

不巧，恰好用到了除法，不能使用同余定理，但是不使用的话又会爆数据，那怎么办呢？这时候就要引入一个新的定理和新的概念了。新的概念就是乘法逆元。
乘法逆元：

a * b≡ 1 mod c 若 (a*b)%c ≡ 1成立，则称a关于模c的乘法逆元为b，反之同样成立。

这样有什么用处呢？引入乘法逆元之后 若 a*b≡1mod c 则 (d / a)%c ≡(d * b)%c （逆元就相当于倒数 a除以b就相当于a乘b分之一） 这时候求组合数的表达式就可以转化为乘法，也就可以使用同余定理了。

知道逆元的存在，所有问题都迎刃而解，但是应该怎么求逆元呢？
这时候在引入一个新的定理——费马小定理
当p为质数时 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
将等式变形一下 a * a^(p-2) ≡ 1 (mod p)所以 a 关于模p的逆元为a ^(p-2)
此时所有问题都影刃而解，可以码代码了，但是开头提到的扩展欧几里得和这些又有什么关系呢？
扩展欧几里得是另一种求逆元的方法，ax≡1 (mod p)可以变形为ax-yp=1 在a,b已知情况下，可以用扩展欧几里得算法算出x,求出a的逆元。（求解组合数时仍采用费马小定理，个人认为比较容易理解）
这里给出扩展欧几里得算法：

   void gcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
   if(!b){ d=a;x=1;y=0 }
   else{ gcd(b,a%b,d,y,x); y-= x*(a/b); }
   }

有兴趣可以自己了解一下
那么继续回到主题，所有的准备工作已经就绪，接下来具体实现的代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;

ll quick_mod(ll a,ll b,ll m)//快速幂求a^b
{
	ll ans = 1;
	while(b!=0){
		if(b&1!=0) ans = ((ans % m) * (a % m)) % m;
		a = ((a % m) * (a % m)) % m;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll comp(ll a,ll b,ll m) //求组合数
{
    if(a<b) return 0;
    if(a==b) return 1;
    if(b>a-b) b=a-b;
    ll ans=1,ca=1,cb=1;
    for(int i=0;i<b;i++){
        ca=ca*(a-i)%m;
        cb=cb*(b-i)%m;
    }
    ans=ca * quick_mod(cb,m-2,m) % m; //quick_mod(cb,m-2,m)费马小定理求逆元
    return ans;
}

ll lucas(ll a,ll b,ll m)//卢卡斯定理
{
	return a && b ? (lucas(a/m,b/m,m) % m * comp(a%m,b%m,m) ) % m : 1;
}

int main()
{
    ll a,b,m;
	cin>>b>>a>>m;
    cout<<lucas(a,b,m)<<endl;
}

此时算法就写完了，交一发

完美AC，开心的去吃饭