Dilworth定理

Dilworth定理优化“序列的不下降子序列最少划分数”

应kAc的要求，写这篇文章。虽然告别竞赛了，但是帮助晚辈，特别是有可能成为我孙子的人，还是十分有意义的。
首先是定义。
偏序关系是满足自反性、反对称性、传递性的二元关系。可以用<=表示。
自反性：x<=x成立。
反对称性：a<=b 且 b<=a <=> a=b
传递性：a<=b 且 b<=c ==> a<=c
满足上述三条性质的二元关系是偏序关系，配备偏序关系的集合称为偏序集。
显然数集上的“小于或等于”是偏序关系，但是偏序关系不只可以在数集上。
可比：a与b可比，当且仅当a<=b 或 b<=a。
设全集U是一个偏序集。
链：U的子集，满足其中任意两个元素（不相同）可比。
反链：U的子集，满足其中任意两个元素（不相同）不可比。
比如，有限数集S上的最长链的长度等于|S|，最长反链长度为1.
将U分拆成很多子集称作划分。姑且把子集全为链的划分叫做链划分，全为反链叫反链划分。
有两个互相对偶的定理：
U的链划分使用的最少集合数，等于它的最大反链长度。（1）
U的反链划分使用的最少集合数，等于它的最大链长度。（2）
其中某一个叫做Dilworth定理……我记不清了……
如果我说的不清楚，请参阅任意一本组合数学的入门书籍。
那么，罗嗦了半天，来到那个问题：给定一个全为实数的序列，每次在其中选出一个不下降子序列并将其删掉。求删完整个序列所需要的选择子序列的次数。
比如说，1 2 4 3 5这个序列，最少要两次，第一次1 2 3 5.
虽然序列与集合不同，但这很可能与最少划分有关。不管怎么说，打算用Dilworth定理相关内容解决本题。
首先要把序列转化成集合。不同点在于序列中元素有序。考虑使用有序数对（p，v）表示原序列中的一个数。p表示位置，v表示数值。
从集合中任意取出两个元素，如何能确定前者不比后者大呢？考虑关系<=:p1<=v1&&p2<=v2。这相当于先把两个元素按照原序列中的位置排序，再比较数值大小。这个关系是偏序关系。如此一来，两个元素可比，等价于在原序列中，他们是不下降的。
根据（1），原题所求的次数，等于原序列的最长下降子序列的长度。
如果是求下降子序列的最小划分，相当于是求最小反链划分，等于最长不下降子序列的长度。
（完。请多指教。）