2020年杭电多校第五场题解Tetrahedron、Boring Game、Paperfolding
Tetrahedron（数学推导，逆元）
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Tetrahedron
思路
公式的推导，显然可以得到
1 h 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 \frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} h21=a21+b21+c21
对于期望的计算，因为a、b、c是等价的，所以可以直接计算 1 a 2 \frac{1}{a^2} a21的期望然后乘以3
而 1 a 2 \frac{1}{a^2} a21的期望：
( 1 1 2 ∗ 1 n + 1 2 2 ∗ 1 n + . . . . . . + 1 ( n − 1 ) 2 ∗ 1 n + 1 n 2 ∗ 1 n ) (\frac{1}{1^2}*\frac{1}{n}+\frac{1}{2^2}*\frac{1}{n}+......+\frac{1}{(n-1)^2}*\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}*\frac{1}{n}) (121∗n1+221∗n1+......+(n−1)21∗n1+n21∗n1)
所以我们可以将 1 n \frac{1}{n} n1提出来，可以先对期望打表
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#includeBoring Game
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Boring Game
题目大意
有n张纸，将其连续的从左向右折叠 k 次，然后上到下标号
求将纸重新展开后的序号序列
思路
直接模拟展开的过程即可，采取vector存序号
每次将前一半的序号放到后一半的序号的前面，注意到翻转会使得上一半的序号反过来，所以需要提前翻转一下
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#includePaperfolding
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Paperfolding
题目大意
给你n次操作机会，你可以将一张纸向上下左右任意一方向折叠，总共可折叠n次，求折叠完后十字切割能切出来的纸片的数量
思路
官方题解：
模拟一下可以看出水平对折和垂直对折的答案相对独立
对于 x x x次水平对折和 y y y垂直对折答案是 ( 2 x + 1 ) ( 2 y + 1 ) (2^x+1)(2^y+1) (2x+1)(2y+1)，
这个公式你可以试着模拟一下就会发现左右对折影响的是竖向折痕，每折叠一次 ∗ 2 *2 ∗2，上下对折同理
因为通过反向逐操作还原，可以看到刀的痕迹的数量变化是每次在某一维倍增的
因此，相当于一张纸，水平和竖直分别切了 2 x , 2 y 2^x, 2^y 2x,2y刀
所以数学期望为
1 2 n ∑ i = 0 n C n i ( 2 i + 1 ) ( 2 n − i + 1 ) \frac{1}{2^n} ∑^n_{i=0} C_n^i (2^i +1)(2^{n−i} +1) 2n1∑i=0nCni(2i+1)(2n−i+1)
这个公式很容易就可以得出来，但是在这里复杂度仍然很高 O ( n × l o g ( n ) ) O(n×log(n)) O(n×log(n))，所以还需要化简
可以先将括号打开
1 2 n ∑ i = 0 n [ C n i ( 2 n + 1 ) + C n i ( 2 n − i + 2 i ) ] \frac{1}{2^n} ∑^n_{i=0}[C_n^i (2^n +1)+C_n^i(2^{n−i} +2^i)] 2n1∑i=0n[Cni(2n+1)+Cni(2n−i+2i)]
然后想到二项式定理
C n 0 + C n 1 + C n 2 + . . . . . . + C n n − 1 + C n n C_n^0+C_n^1+C_n^2+......+C_n^{n-1}+C_n^n Cn0+Cn1+Cn2+......+Cnn−1+Cnn
所以可以得到
∑ i = 0 n C n i = 2 n ∑^n_{i=0}C_n^i=2^n ∑i=0nCni=2n
3 n = ( 2 + 1 ) n = ∑ i = 0 n C n i 2 i 或 者 = ∑ i = 0 n C n i 2 n − i 3^n=(2+1)^n=∑^n_{i=0}C_n^i2^i或者=∑^n_{i=0}C_n^i2^{n-i} 3n=(2+1)n=∑i=0nCni2i或者=∑i=0nCni2n−i
根据上面两个公式，我们可以将原来的公式换成
1 2 n × ( 2 n × ( 2 n + 1 ) + 2 × 3 n ) \frac{1}{2^n}×(2^n×(2^n+1)+2×3^n) 2n1×(2n×(2n+1)+2×3n)
所以最终的公式就是
2 n + 1 + 2 × 3 n 2 n 2^n+1+\frac{2×3^n}{2^n} 2n+1+2n2×3n
AC Code
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