[杜教筛] 51nod1220. 约数之和

推一下

考虑把 ij 的质因数拆成 i 和 j 的质因数的乘积，但是直接算会有重复。

令 ij 的一个质因数是 ab ，其中 a|i ， b|j ，如果满足 (a,jb)=1 的话，每个质因数就只会被枚举到一次了

那么

Sk(n)=∑i=1n∑j=1n∑a|i∑b|j[(a,b)=1](ajb)k

如果k=0，反演一下就是陈老师R老师等式了

题目就是求 S1(n) ，反演一下得到

S1(n)=∑t=1nμ(t)t∑a=1⌊nt⌋a⌊nat⌋∑b=1⌊nt⌋∑i=1⌊nbt⌋i

令 f(n)=∑ni=1i⌊ni⌋ ， g(n)=∑nb=1∑⌊nb⌋i=1i

S1(n)=∑t=1nμ(t)tf(⌊nt⌋)g(⌊nt⌋)

μ⋅id 杜教筛， f,g 分块求一下就好了

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N=1000010,P=1e9+7,inv=(P+1)/6;

int p[N],mu[N];

inline void Pre(){
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<=1000000;i++){
    if(!p[i]) p[++*p]=i,mu[i]=-1;
    for(int j=1;j<=*p && 1LL*i*p[j]<=1000000;j++){
      p[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];
      else break;
    }
  }
  for(int i=1;i<=1000000;i++) mu[i]=(1LL*i*mu[i]+mu[i-1])%P;
}

map<int,int> M;

inline int S(int l,int r){
  return 1LL*(r-l+1)*(l+r)/2%P;
}

inline int Sum(int n){
  if(n<=1000000) return mu[n];
  if(M.count(n)) return M[n];
  int ret=1;
  for(int i=2,j;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i);
    ret=(ret-1LL*S(i,j)*Sum(n/i))%P;
  }
  return M[n]=ret;
}

inline int f(int n){
  int ret=0;
  for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i);
    ret=(ret+1LL*S(i,j)*(n/i))%P;
  }
  return ret;
}

inline int g(int n){
  int ret=0;
  for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i);
    ret=(ret+1LL*(j-i+1)*S(1,n/i))%P;
  }
  return ret;
}

int main(){
  int n,ans=0; scanf("%d",&n); Pre();
  for(int i=1,j,lst=0;i<=n;i=j+1){
    j=n/(n/i); int cur=Sum(j);
    ans=(ans+1LL*(cur-lst)*f(n/i)%P*g(n/i))%P;
    lst=cur;
  }
  printf("%d\n",(ans+P)%P);
  return 0;
}